¿Referencia para puntos fijos de homotopía iterada?

Question

¿Cuáles son las (buenas) las referencias de los resultados sobre iterada homotopy puntos fijos? Es decir, suponga que G es un grupo topológico que actúa sobre un espacio (o espectro) X, y H es un subgrupo normal de G. Entonces a uno le gustaría primer lugar, calcular la homotopy puntos fijos de X con respecto a H, y utilizarlo como un trampolín para el cálculo de la homotopy puntos fijos de X con respecto a la G.

(Estoy independientemente interesados, tanto en el espacio y en el espectro de las versiones, así que estoy contento con los punteros, los comentarios con respecto a cualquiera de los dos.)

Answer 1

Voy a asumir que los grupos son discretos, porque no quiero que se preocupe acerca de G-CW-estructuras de la restricción de la H-CW-estructuras.

Decir que X es un "objeto" con un G-acción y H un subgrupo normal de G. Vamos a por ejemplo ser un libre contráctiles CW-G-espacio, E(G/H) de la misma para G/H y por ejemplo x E(G/H) tener la diagonal G-acción.

Luego homotopy puntos fijos de X son el G-equivariant funciones F^G(por ejemplo,X) (donde si X es un espectro quiero añadir un distinto punto de base para, por ejemplo).

A continuación, el mapa de proyección de EG x E(G/H) para, por ejemplo, es un G-equivariant de equivalencia, y así obtenemos un diagrama como el siguiente. $$ F^G(por ejemplo,X) \simeq F^G(por ejemplo, \times E(G/H),X) $$$$ \simeq F^{G, H}(E(G/H), F^H(por ejemplo,X)) $$ (donde G/H actúa sobre la función de este último espacio por ${}^gf = g f g^{-1}$).

Como por ejemplo es también una versión de EH, esto nos dice que el G/H-homotopy puntos fijos de la H-homotopy puntos fijos es el mismo que el G-homotopy puntos fijos.

Answer 2

La declaración de la X^hG = (X^hH)^hG/H es verdadera para cualquier G-objeto X de cualquier completos (∞,1)-categoría C. Un objeto de C con G-acción es el mismo que el de un functor BG → C, donde BG representa la categoría (o (∞,1)-categoría si G no es discreta) con un único objeto con automorphism grupo G. El G-puntos fijos son los homotopy límite de este functor, o, equivalentemente, de su derecho Kan extensión a lo largo de la functor BG → •. Podemos factor este último functor como p: BG → B(G/H), seguido por el q: B(G/H) → •. Así

$X^{hG} = (qp)_* X = q_* p_* X = (p_* X)^{hG/H}$

Se sigue para calcular el derecho Kan extensión de X a lo largo de p. En el objeto • de B(G/H), es el límite del diagrama X sobre la categoría • ↓ G, que es la traducción groupoid de G actuando en G/H, o, equivalentemente, BH. Así que, de hecho,$p_* X = X^{hH}$. La identificación de la acción de G/H se deja como ejercicio para el lector. :)