Primeros de Mersenne

Question

Una prima de Mersenne es un número primo de la forma $2^p-1$ donde $p$ tiene que ser un número primo. Ahora, vamos a $p_0$ ser un número primo, y nos permite definir la secuencia de $p_n = 2^{p_{n-1}}-1$. Hay un $p_0$ de manera tal que la secuencia de $p_n$ es una secuencia de números primos ? He comprobado que para los primeros 4 términos (a partir de la con $p_0 = 2$) y parece que funciona. Obviamente, estoy seguro de que falla en algún punto para tal caso simple, pero hay un $p_0$ de manera tal que esta secuencia es una secuencia de números primos ?

Edit: Divertido, funciona para los 5 primeros términos de partida en $p_0 = 2$

En particular, $p_{n+1} = p_n + \sum_{k = p_{n-1}}^{p_{n} - 1} 2^k$

Otro divertido fórmula es $p_{n+1} +1 = (p_n +1) 2^{p_n - p_{n-1}}$, o, simplemente,$\prod_{k=1}^n (1+p_k) = 2^{\sum_{k=0}^{n-1} p_k}$, $\sum_{k=0}^{n-1} p_k = \sum_{k=1}^n ln(1+ p_k)/ln(2)$. Usted tiene lo que muchos de ellos debido a $1+p_{n+1} = 2^{p_n}$$p_{n+1} = \sum_{k=0}^{p_n-1} 2^{k}$ : <

Answer 1

Felicitaciones. Usted acaba de re-inventado el catalán-Mersenne secuencia:

$$2,3,7,127,2^{127}-1...$$

El primero de los cinco elementos son, de hecho, el primer. Es el siguiente número en la secuencia en prime? Nadie lo sabe, porque el 6 de número es demasiado grande para cualquier prueba de primalidad (que tiene alrededor de $5 \times 10^{37}$ dígitos).

En cualquier caso, este es el único candidato para una secuencia infinita. Sólo hay un adicional conocido Mersenne prime cuyo exponente es también una de Mersenne: $2^{31}-1=2147483647$ ( $31=2^{5}-1$ ), por lo que usted podría estar tentado a tratar de iniciar una secuencia similar con $5$:

$5,31,2147483647...$

Unfortantely, el siguiente número es $2^{2147483647}-1$, el cual es conocido por ser compuesto (tiene un sorprendentemente pequeño factor: $295,257,526,626,031$).