¿Puede una operación derivada conmutar sobre una operación integral independientemente de las propiedades de la función bajo la integral?
Respuesta
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No en general. Recomiendo Gelbaum y Olmsted del Contraejemplos en el Análisis, que es donde me volví a encontrar un contraejemplo a su pregunta. Es decir, ejemplo 15 en la página 123 se titula
Una función de $f$ que $d/dx\int_a^b f(x,y)dy\neq\int_a^b[\partial/\partial x f(x,y)]dy$, a pesar de que cada integrante es adecuada.
El ejemplo es
$$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{x^3}{y^2}e^{-x^2/y} & : y>0, \\ 0 & : y=0, \end{array} \right. $$ integrado con respecto a $y$$0$$1$. En realidad, la diferenciación bajo el signo integral, trabaja aquí, excepto donde se $x=0$.
La función y de sus derivadas parciales no son conjuntamente continua. Cuando son conjuntamente continua, la diferenciación y la integración de desplazamiento.
