Cómo encontrar subgrupos de$ \;\;\Bbb Z_2\times \Bbb Z_6$

Question

Estoy leyendo un primer curso de álgebra y hay un ejemplo diciendo que "encontrar todos los subgrupos de$\Bbb{Z}_2\times\Bbb{Z}_6$ y decidir cuáles de ellos son cíclicos. Sé que$$\Bbb{Z}_2\times\Bbb{Z}_6=\{(0,0),(0,1),\ldots,(0,5),(1,0),\ldots,(1,5)\}$$ consisting of $ 12$ elements and since its order is $ 12$, the subgroups can be of order $ 1$, $ 2$, $ 3$, $ 4$, $ 6$ or $ 12 $.

Pero no sé cómo encontrar los subgrupos y decidir si los ciclos son cíclicos. ¿Alguien puede ayudar?

Gracias

Answer 1

Sugerencia: Recordar el teorema de relieve a continuación, y nota que de ello se sigue que $$\quad \mathbb Z_{\large 2} \times \mathbb Z_{\large 6} \quad \cong \quad \mathbb Z_{\large 2} \times \mathbb Z_{\large 2}\times \mathbb Z_{\large 3}$$

Esto podría ayudar a hacer de su tarea un poco más clara, al señalar que cada una de las $\mathbb Z_2, \; \mathbb Z_3,$ $\,\mathbb Z_6 \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3$ son cíclicos, sino $\;\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2,\;$ orden $\,4,\,$ no es cíclico. De hecho, existe uno y sólo un grupo de orden $4$, isomorfo a $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$, es decir, el Klein $4$-grupo.

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Teorema: $\;\mathbb Z_{\large mn}\;$ es cíclico y $$\mathbb Z_{\large mn} \cong \mathbb Z_{\large m} \times \mathbb Z_{\large n}$$

si y sólo si $\;\;\gcd(m, n) = 1.$

Esto es cómo sabemos que $\mathbb Z_6 = \mathbb Z_{2\times 3} \cong \mathbb Z_2\times \mathbb Z_3$ es cíclica, ya que $\gcd(2, 3) = 1.\;$

Es también la razón por $\,\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2 \not\cong \mathbb Z_4,\;$ y, por lo tanto, es no cíclico, ya que $\gcd(2, 2) = 2 \neq 1$.

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Buenas a saber Corolario/Generalización:

El producto directo de los $\;\displaystyle \prod_{i = 1}^n \mathbb Z_{\large m_i}\;$ es cíclico y $$\prod_{i = 1}^n \mathbb Z_{\large m_i}\quad \cong\quad \mathbb Z_{\large m_1m_2\ldots m_n}$$ if and only if the integers $m_i\,$ for $\,1 \leq i \leq n\,$ are pairwise relatively prime, that is, if and only if for any two $\,m_i, m_j,\;i\neq j,\;\gcd(m_i, m_j)=1$.

Answer 2

Sugerencias:

1. Para encontrar los subgrupos cíclicos, calcule$\langle g \rangle$ para cada$g \in \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6$.

2. Cada grupo de primer orden es cíclico.

3. Cada grupo abeliano de orden$6$ es cíclico. (Como alternativa, utilice el hecho de que cada elemento de un subgrupo de orden$6$ debe tener orden$1$,$2$ o$3$).

4. El grupo$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6$ tiene exactamente un subgrupo de orden$4$. (Utilice el hecho de que cualquier elemento del subgrupo debe tener el orden$1$,$2$ o$4$).

Answer 3

Mire algunos elementos y vea qué subgrupos generan solo.

Por ejemplo$(0,1)$ genera el$\{0\}\times\Bbb Z_6$ copy,$(0,2)$ genera un$\Bbb Z_3$ (igual que$2$ in% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Entonces puede buscar subgrupos generados por$\Bbb Z_6$ elementos, por ejemplo$(1,3)$ y$\Bbb Z_2$ juntos generan$2$, y así sucesivamente ...