Apreciaría si alguien podría ayudarme con el siguiente problema:
P:$a,a+d,a+2d,a+3d, a+4d, a+5d, a+6d$ es el número primo
Encuentra% mínimo% #%?
Respuestas
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El mínimo está dado por$(a,d)=(7,150)$ con $$ (a, a d, \ ldots, a 6d) = (7,157,307,457,607,757,907), $$ de modo que$a+6d=907$. Esto se ha determinado en relación con el resultado de Green-Tao sobre progresiones aritméticas de primos de longitud arbitraria.
Referencia: Por ejemplo, esta página , entrada$k=7$ de G. Lemaire, tabla "AP-k más pequeño con inicio mínimo".
Per Hornshøj-Schierbeck
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Asumiendo $a,d>0$ ya que de lo contrario la pregunta de minimizar $a+6d$ es inútil.
Es muy fácil ver que la solución, $a=7,d=150$ a que hace referencia Dietrich Burde es la mínima. OMI sería una lástima que no incluyen el argumento, así que aquí viene.
A menos $d$ es divisible por $p$ para los números primos $p=2,3$ la lista (de longitud $7$) contiene al menos dos números es divisible por los primos $p$, y al menos uno de ellos es, a continuación, composite.
Del mismo modo, a menos que $d$ es divisible por $5$, la lista contiene al menos un número divisible por $5$. Y si ese número es el principal, tiene que ser $5$ sí. Lo que significa que $a=5$. Pero, a continuación, $a+5d>5$ es también divisible por $5$, de modo que ésta no es una solución.
Del mismo modo, a menos que $d$ es divisible por $7$, una de las entradas será divisible por $7$. Así que, para concluir
- la lista comienza con un $7$, e $d$ es un múltiplo de a $2\cdot3\cdot5=30$, o
- $d$ es un múltiplo de a $2\cdot3\cdot5\cdot7=210$.
El primer caso parece que tiene una mejor oportunidad de proporcionar el más pequeño $a+6d$. Pero $7+6\cdot30=187=11\cdot 17$, por lo que la secuencia debe faltar a ese número, lo que significa que $180$ no puede ser un múltiplo de $d$. Por lo $d\ge120$. Pero otro problema que aparece en $7+2\cdot120=247=13\cdot19$. Por lo tanto,$d\ge150$. Ver Dietrich Burde la respuesta para una confirmación de que $a=7, d=150$ es, de hecho, una solución.
El último caso con $d\ge210$ no puede dar un valor menor para $a+6d$.
Mikael Fremling
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Usted sabe que el primer modulo $a$ los números de $d,2d,3d,4d,5d,6d$ todo debe ser distinto de cero, por lo $a$ no se puede dividir $1,2,3,4,5,6$. El más pequeño $a$ que podrían funcionar para cualquier $d$$7$.
Independientemente de que prime es tomado por $a$, $a$ y $a+d$ deben ser impares, por lo $d$ debe ser par. A continuación, de nuevo, $a,a+d$ $a+2d$ deben ser indivisible por $3$ que solo es posible si $d$ es divisible por $3$. El mismo funciona para mostrar $d$ debe ser divisible por $5$, y por lo tanto por $30$, independientemente de $a$. Y si $a\neq 7$ muestra $d$ debe ser divisible por 7 (un punto llegué por primera vez a partir de Lahtonen) y por lo tanto por $210$.
Intente $a=7$ con múltiplos de $30$. Que no es el primer a $7+6\cdot 30$, por lo que en este caso $d$ también puede ser $2\cdot 30$ o $3\cdot 30$. Y $d=4\cdot 30$ no $7+240$. Así que el más pequeño de los múltiples que se puede trabajar con $a=7$$d=150$, y funciona.
Sólo queda mostrar no menor $a+6k\cdot 210<907$ resuelve el problema. Pero $6\cdot 210$ es ya mayor, a continuación,$907$.
