Grado de extensión $\Bbb Q(\sqrt[4]{5},\sqrt[6]{7})$.

Question

Traté de considerar la torre de la extensión de $\Bbb Q\subset \Bbb Q(\sqrt[6]{7})\subset\Bbb Q(\sqrt[4]{5},\sqrt[6]{7})$.

El polinomio mínimo de a $\Bbb Q(\sqrt[6]{7})$ $\Bbb Q$ $x^6-7$ por Eisenstein. Pero aunque es fácil ver que no tiene raíz en $\Bbb Q(\sqrt[6]{7})$, ¿cómo puedo formalmente a la conclusión de que $x^4-5$ es irreducible sobre$\Bbb Q(\sqrt[6]{7})$, por lo que podemos ver la base de la $\Bbb Q(\sqrt[6]{7}, \sqrt[4]{5})$？

Sé que si tenemos el grado de $\Bbb Q(\sqrt[6]{7})$ $\Bbb Q(\sqrt[4]{5})$ son coprime, entonces puede ser mucho más simple. Pero, ¿cómo lidiar con que, en este caso, donde no se coprime. Cualquier ayuda sería de apreciar. Muchas gracias！

Answer 1

El polinomio $x^4-5$ puede ser un factor más de $\mathbb{R}$, que contiene $\mathbb{Q}(\sqrt[6]{7})$, como $$ x^4-5=(x-\sqrt[4]{5})(x+\sqrt[4]{5})(x^2+\sqrt{5}) $$ Por lo tanto la factorización $\mathbb{Q}(\sqrt[6]{7})$ sólo puede ser el de arriba o $(x^2-\sqrt{5})(x^2+\sqrt{5})$. Tan sólo es necesario demostrar que la $\sqrt{5}\notin\mathbb{Q}(\sqrt[6]{7})$.

Supongamos $\mathbb{Q}(\sqrt{5})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[6]{7})$. A continuación, el grado de $\sqrt[6]{7}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ $3$ por la fórmula de la dimensión. La factorización de $x^6-7$ $\mathbb{R}$ es $$ (x^3-\sqrt{7})(x^3+\sqrt{7})= (x-\sqrt[6]{7})(x^2+\sqrt[6]{7}\,x+\sqrt[3]{7}) (x+\sqrt[6]{7})(x^2-\sqrt[6]{7}\,x+\sqrt[3]{7}) $$ Desde $\sqrt{7}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, sólo se puede obtener el grado tres factores como $$ (x-\sqrt[6]{7})(x^2-\sqrt[6]{7}\,x+\sqrt[3]{7}) $$ o $$ (x+\sqrt[6]{7})(x^2+\sqrt[6]{7}\,x+\sqrt[3]{7}) $$ y en ambos casos había a la conclusión de que $\sqrt[6]{7}\in\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, lo cual es imposible.

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Supongamos $x^4-5$ puede ser factorizado como $f(x)g(x)$ sobre algunos de extensión de la $K$ de $\mathbb{Q}$, $K\subseteq\mathbb{R}$; supongamos también que $f(x)$ $g(x)$ no son constantes. Desde $x^4-5$ es monic, también se $f$ $g$ puede suponer monic. Continuar como este, podemos asumir que $x^4-5$ se toma en cuenta en monic factores, irreductible $K[x]$.

Deje $h(x)\in K[x]$ ser uno de estos factores; su factorización en $\mathbb{R}[x]$ debe consistir de polinomios en el conjunto $\{x-\sqrt[4]{5},x+\sqrt[4]{5},x+\sqrt{5}\}$, que son los factores irreducibles de $x^4-5$$\mathbb{R}[x]$, debido a la unicidad de la factorización en $F[x]$ ($F$ cualquier campo).

Ahora es sólo una cuestión de comprobar las distintas posibilidades. La factorización de $x^4-5$ solo puede ser con grados

• $1$, $1$ y $2$
• $2$ $2$
• $1$ $3$

Si un grado $1$ factor aparece, a continuación,$\sqrt[4]{5}\in K$; si un grado $2$ factor aparece, a continuación,$\sqrt{5}\in K$. En ambos casos, $\sqrt{5}\in K$.

El mismo argumento se aplica para la segunda parte de la prueba.

Answer 2

En general, tenemos los siguientes: Deje $ K/\mathbf Q $ $ L/\mathbf Q $ ser el número dos campos, que existe un racional prime $ p $, lo cual es totalmente ramificado en $ K/\mathbf Q $ y unramified en $ L/\mathbf Q $. A continuación, las extensiones $ K/\mathbf Q $ $ L/\mathbf Q $ son linealmente disjuntos, es decir, $ [KL : \mathbf Q] = [K : \mathbf Q][L : \mathbf Q] $.

Prueba. Deje $ \mathfrak q $ ser una de las primeras de $ LK $ se encuentra por encima de lo racional prime $ p $. A continuación, $ e_{\mathfrak q | p} \geq [K : \mathbf Q] $, ya que la ramificación de los índices de multiplicación a través de torres y $ p $ es totalmente ramificado en $ K/\mathbf Q $. Por otro lado, si dejamos $ \mathfrak p $ ser el primer de $ L $ se encuentra por debajo del $ \mathfrak q $; luego tenemos que

$$ [K : \mathbf Q] \leq e_{\mathfrak q | p} = e_{\mathfrak q | \mathfrak p} e_{\mathfrak p | p} = e_{\mathfrak q | \mathfrak p} \leq [LK : L] $$

Sin embargo, es obvio que tenemos que $ [K : \mathbf Q] \geq [LK : L] $; por lo tanto se deduce que el $ [K : \mathbf Q] = [LK : L] $, y la multiplicación por $ [L : \mathbf Q] $ a ambos lados de la igualdad se da el resultado.

Ahora, observe que tenemos exactamente la situación de esta afirmación con el racional prime $ p = 5 $, lo cual es totalmente ramificado en $ \mathbf Q(\sqrt[4]{5}) $ pero unramified en $ \mathbf Q(\sqrt[6]{7}) $.

Answer 3

Para demostrar que el polinomio $X^4-5$ es irreducible en $\mathbb{Q}(\sqrt[6]{7})$ usted debe asumir que no es irreducible, así se puede factorizar en polinomios de grado: $1* 1* 1* 1$ o % o $2*2$ $3*1$o $2*1*1$.

Tienes que trabajar por casos pero su difícil porque han complicado elementos en $\mathbb{Q}(\sqrt[6]{7})$ así considerar la torre opuesta.

Si probarlo, será una base para la extensión final:

$A=\{\sqrt[6]{7}^j*\sqrt[4]{5}^i|j=0,1...5 ,i=0,1,2,3,\}$

Esta es una forma pero tiene muchos cálculos.