¿Por qué definir $|x|$ de una función por trozos?

Question

Así que tuve recientemente la resolución de una pregunta acerca de la derivada de $|\sin(x)|$ y la respuesta por encima de mí, se utiliza una función definida a tramos para resolver el problema.

He utilizado la definición de $|x|=\sqrt{x^2}$, y el problema se convirtió increíblemente fácil de resolver. Así que, supongo que lo que estoy preguntando es, ¿por qué las personas definen $|x|$ por una función definida a tramos como:

$|x|= \begin{cases} x , & \text{if } x \geq 0\\ -x, & \text{otherwise} \end{casos}$

Porque es más difícil diferenciarse y sólo la posible aplicación es la integración. Además, mi definición es más fácil de probar:

Prueba:

El valor absoluto de un número real se define como la magnitud de la cifra real.

La magnitud de un número complejo $a+bi$$\sqrt{a^2+b^2}$, y si $b$ $0$ debido a que el número es real, entonces la $|a|=\sqrt{a^2}$.

Así que, en conclusión, quiero saber cómo esta trozos definición se produjo, y por qué nunca veo a mi definición. Si es posible, me gustaría saber las fallas con mi definición.

Answer 1

No estoy seguro de si hay una buena respuesta a esta pregunta. Ambas definiciones tienen sus méritos. Su definición es simplemente un caso especial de la definición de la norma métrica en $\mathbf{R}^n$. Es decir, $$ d_E(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)^2}$$ donde$x=(x^1,\ldots, x^n)$$y=(y^1,\ldots y^n)$. En este caso, $\lvert x\rvert $ es simplemente la distancia Euclidiana de $x$ desde el origen en $\mathbf{R}$. Es decir, $$ \lvert x\rvert=\sqrt{x^2}.$$ Por otro lado, a veces es bueno lo que respecta $\lvert x\rvert$ como dos líneas. Es decir, $$ \lvert x\rvert=\begin{cases} x&x\ge 0\\ -x&x<0. \end{casos}$$ En el último caso, solo sabemos que podemos fingir $\lvert x\rvert$ es $x$ o $-x$ dependiendo de qué lado de el origen estamos en. En resumen, ambas definiciones son fundamentales e igualmente válida.

Answer 2

La definición de $|x|$ es, naturalmente, expresada en términos de diferentes condiciones, en función de si $x \geq 0$ o $x<0$ porque $|x|$ es la distancia de $0$ $x$y estamos de acuerdo en que la distancia es siempre $\geq 0$.

La definición de $|x|=\sqrt {x^2}$ también está bien porque cuando hablamos de la raíz cuadrada estamos de acuerdo en que la raíz cuadrada de un número real no negativo es no negativo de sí mismo, de modo $\sqrt {x^2}$ nunca es un número negativo y es igual a $|x|$ porque de $(-x)^2=x^2$.

La forma en que se llegó a "su" definición de tipo de no es práctico debido a que el uso de los números complejos para determinar la distancia en la recta real y que son sin duda no es necesario hacer eso.