Calculo - Series infinitas

Question

Decidir si la serie infinita converge de diverge. $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}$$

Mi proceso de pensamiento:
El enésimo término de prueba no parece viable después de su uso inicial.
La función de comparación de deriva para la DCT/LCT es: $\frac{3^n}{4^n}$. No puedo crear la desigualdad entre la función dada y mi función de comparación que he encontrado, así que he intentado LCT. Soy consciente de que $\sum_{i=1}^\infty \frac{3^n}{4^n}$ es geométrica y porque el común de la relación (r) es $ \frac{3}{4}$, $-1<r<1$ la serie converge, sin embargo no puedo calcular el límite de la LCT requiere.
Aplicación de la raíz de la prueba parece unbeneficial debido a que las raíces no se dividen más de sumas.
Como para la prueba de razón de que yo también era incorrecta de proceder con el cálculo del límite.

Las anteriores son las únicas pruebas que he aprendido a partir de ahora. Mi pregunta es ¿qué pruebas debo buscar a utilizar para determinar la convergencia o divergencia?

Answer 1

El uso de la prueba de comparación.

Para cada $n$, vamos $$ a_n = \dfrac{2^n + 3^n}{3^n + 4^n}. $$ El dado de la serie es $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Vamos a demostrar que converge.

Para cada $n$, $$ a_n = \dfrac{2^n + 3^n}{3^n + 4^n} \leq \dfrac{3^n + 3^n}{4^n} = 2 \biggl( \dfrac{3}{4} \biggr)^n. $$ Para cada $n$, vamos a $b_n = 2(\tfrac{3}{4})^n$. Por lo $a_n \leq b_n$ por cada $n$. Desde $\sum_{n=1}^{\infty} (\tfrac{3}{4})^n$ es una serie geométrica con razón común $\tfrac{3}{4}$, converge. Por lo tanto, $2 \sum_{n=1}^{\infty} (\tfrac{3}{4})^n$ converge también, es decir, $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ converge. Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge por la prueba de comparación.

Answer 2

Intentemos dividir:

$$\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}=\frac{2^n}{3^n+4^n}+\frac{3^n}{3^n+4^n}.$$

Luego cada uno consideramos las siguientes series:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n+4^n}\quad\text{and}\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{3^n+4^n}\tag 1$$

Como podemos ver, tenemos %#% $ de #% y $$\frac{2^n}{3^n+4^n}<\frac{2^n}{3^n}=\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^n\quad \forall n\in\Bbb N$ $

Convergencia de las dos series dadas en $$\frac{3^n}{3^n+4^n}<\frac{3^n}{4^n}=\bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n\quad \forall n\in\Bbb N$ sigue de la prueba de comparación porque
$(1)$ $ son ambas convergentes. Por lo tanto, la serie $$\sum_{n=1}^\infty \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^n\quad\text{and}\quad \sum_{n=1}^\infty \bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n$ $ es convergente (siendo una suma de dos series convergentes).

Answer 3

Basta con notar que los términos $a_n$ de su secuencia satisfacer $$ 0 < a_n < q ^ n \tag{1} $$ para un % adecuadamente solicitado $q<1$. Por ejemplo, usted puede elegir $q=0.9$, y será válido para todas las $(1)$ $n\ge1$. Después usted puede utilizar el hecho de que la serie geométrica $$ \sum_{n=1}^\infty q ^ n = {q\over 1 q} $$ converge; por lo tanto su serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge, por comparación de la prueba.

Answer 4

Además de los ya proporcionados soluciones, me gustaría señalar que tanto la LCT y la Raíz de la Prueba de hacer el trabajo aquí también.

Si nos vamos a la aplicación de la LCT a$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}$$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^n}=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n$:

$$\frac{\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}}{\frac{3^n}{4^n}}=\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}\cdot\frac{4^n}{3^n}=\frac{8^n+12^n}{9^n+12^n}=\frac{(8^n+12^n)\color{red}{\div12^n}}{(9^n+12^n)\color{red}{\div12^n}}=\frac{\left(\frac{8}{12}\right)^n+1}{\left(\frac{9}{12}\right)^n+1}\to\frac{0+1}{0+1}=1,$$

así que la LCT se aplica a estas dos series y se comportan de la misma manera.

Una similar truco funciona con la Raíz de la Prueba. Podemos factor de nuestra $3^n$ $4^n$ en el numerador y el denominador, respectivamente, para encontrar que

$$\sqrt[n]{\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}}=\sqrt[n]{\frac{\color{red}{3^n\cdot}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^n+1\right)}{\color{red}{4^n\cdot}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)}}=\color{red}{\frac{3}{4}\cdot}\sqrt[n]{\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{4}\right)^n+1}}\to\frac{3}{4}\cdot1=\frac{3}{4}.$$

ACTUALIZACIÓN: acabo de notar que el OP se menciona la Relación de la Prueba demasiado. No voy a escribir una solución, pero el límite de la fracción en la Prueba de razón puede ser simplificado aquí el uso de un truco similar a la utilizada en la LCT cálculo de arriba.