¿Cuáles son las coordenadas del punto rojo?

Question

La función de $f (x)=-x^2+4$ "en rojo" se está moviendo a lo largo de la línea de $y=x+4$ "en negro" desde el punto verde de punto negro y se convierte en el lugar de azul como el gráfico que se muestra en el siguiente gráfico

Cuáles son las coordenadas de punto rojo?

Tengo el green point $(0,4)$ mediante el uso de la ecuación de $y=x+4$ , y obtuvo el punto de intersección de las dos parábolas $(2,0)$ y me dejó aquí.

Answer 1

Podemos resolver este problema, recordando la función de las transformaciones.

La ecuación original de la parábola es $y = -x^2 + 4$. Usted está modificando la parábola a lo largo de una línea de pendiente $1$, lo que significa que la parábola es un cambio de la misma cantidad como se está desplazando hacia la derecha. De manera que la ecuación de la azul parábola se $y = -(x-h)^2 + 4+h$ donde $h$ es una constante positiva.

Desde el azul de la parábola y el rojo de la parábola compartir una $x$ interceptar, sabemos que $(2, 0)$ satisface $y = -(x-h)^2 + 4 + h$. Si sustituimos en $(2, 0)$, podemos resolver para $h$, y, a continuación, hemos terminado. Se puede hacer con el resto?

Answer 2

Si desliza el punto verde un % de distancia $d$a la derecha a lo largo de la línea, entonces tanto las $x$ $y$ coordenadas y del punto de incrementar en un $d$. Esto significa que la parábola desplazada tiene la ecuación $(y-d)=4-(x-d)^2$. Usted sabe que esto cambió la parábola pasa por el punto de intersección del $(2,0)$, así que enchufe resolver $d$ y encontrar el otro $x$-intercepto de la ecuación resultante (puede utilizar simetría para hacer ese ultimo paso muy fácil).

Answer 3

Las otras respuestas son buenas, pero esta es otra forma de hacerlo. Dada una parábola con vértice en la línea de $y=x+4$$a=-1$, y un cero en $x=2$, la altura de la parábola será $x+4$, e $x$-distancia desde el vértice hasta el cero se $|x-2|$. Por lo tanto, $(x+4)-|x-2|^2 = 0$ o $x^2-5x = 0$, lo que significa que $x=0$ (el rojo de la parábola) o $x=5$ (el azul de la parábola). Desde la distancia del vértice a cada uno de sus raíces son las mismas, calculamos $|x-2|$, y podemos sumar y restar que a$x$, $x$- coordenadas de los vértices. Esto nos da los dos ceros de la azul parábola.