Evalúe $\int_{x=0}^{2 \pi}\frac{dx}{(1+a \cos{x})^{b^2}}$

Question

Evalúa: $$\int_{0}^{2 \pi}\frac{dx}{(l^2+r^2+2 l r \cos{x})^{b^2}}$$ donde $b^2$ es un número real, $r>0$ y $l \geq 0$ .

Puedo simplificarlo a $$c\int_{0}^{2 \pi}\frac{dx}{(1+a \cos{x})^{b^2}}$$ donde $a>0$ .

¿Alguna idea? ¿Simplificaciones? ¿Resultados?

Answer 1

Queremos calcular la integral (set $x\rightarrow 2\pi-x$ )

$$ I(a,\beta)=\int_0^{2\pi}\frac{1}{(1+a \cos(x))^{\beta}}=2\int_0^{\pi}\frac{1}{(1+a \cos(x))^{\beta}}=2\int_0^{\pi}\frac{1}{(1+a-2a \sin^2(x/2))^{\beta}} $$

donde $|a|<1$ y $\beta\in \mathbb{R}_+$ . Comencemos con una subsunción $y=\sin(x/2)$ . El resultado es

$$ I(a,\beta)=\frac{4}{(1+a)^\beta}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{(1-\frac{2a}{1+a} y^2)^{\beta}} $$

ajuste $y=t^{1/2}$ obtenemos

$$ I(a,b)=\frac{2}{(1+a)^\beta}\int_{0}^{1}\frac{t^{-1/2}}{\sqrt{1-t}}\frac{1}{(1-\frac{2a}{1+a} t)^{\beta}} $$ ...

que es igual a Fórmula de Euler (utilizamos $B(1/2,1)=\Gamma(1/2)^2/\Gamma(1)=\pi$ en el segundo paso)

$$ I(a,\beta)=\frac{2}{(1+a)^\beta}B(1/2,1){_2F_1}\left(\beta,\frac{1}{2};1;\frac{2a}{1+a}\right)=\\\frac{2\pi}{(1+a)^\beta}{_2F_1}\left(\beta,\frac{1}{2};1;\frac{2a}{1+a}\right) \quad $$

Esto reproduce el resultado Mathematicas de los comentarios por medio de La transformación de Pfaff Set: $\frac{2a}{1+a}\rightarrow\frac{2a}{a-1}$ y utilizar ese $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ :-)

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edit: Para dejar más claro el último paso:

Debido a Pfaff se sostiene que

$$ _2F_1(a,b;c,z)=\frac{1}{(1-z)^b}{_2F_1}\left(b,c-a;c,\frac{z}{z-1}\right) $$

ahora fijamos $z=\frac{2a}{a-1}$ , $a=\frac{1}{2}$ , $b=\beta$ y $c=1$ . Encontramos

$$ \frac{1}{(1-a)^{\beta}}{_2F_1}\left(\frac{1}{2},\beta;1,\frac{2a}{a-1}\right)=\frac{1}{(1+a)^{\beta}}{_2F_1}\left(\beta,\frac{1}{2};1,\frac{2a}{a+1}\right) $$

lo que también significa que

$$ I(a,\beta)=\frac{2\pi}{(1-a)^{\beta}}{_2F_1}\left(\frac{1}{2},\beta;1,\frac{2a}{a-1}\right) $$

que es exactamente la afirmación de Mathematicas