Significado de Lorentz generadores

Question

Estoy tratando de comprender infinitesimal transformaciones de Lorenz en la teoría cuántica de campos. He estudiado algunas se encuentran la teoría de los matemáticos, pero estoy teniendo problemas para adaptarse conceptualmente a cómo álgebras de Lie son realmente utilizados en la física teórica.

1. El libro que me estoy leyendo introduce la Hermitian generadores: $$L_{\mu \nu} = i(x_{\mu} \partial_{\nu} - x_{\nu} \partial_{\mu})$$ and then uses these to express an infinitesimal Lorentz transformation $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$. The problem is, I tend to think of symbols with Greek indices (like $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ and $L_{\mu \nu}$) as being Lorentz tensors, i.e. like matrices, whereas $L_{\mu \nu}$ seems to be some kind of differential operator acting on fields? How can we then write the tensor $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ in terms of these $L_{\mu \nu}$?

2. El libro va a decir que el $L_{\mu \nu}$ formulario de álgebra de la Mentira $SO(3,1)$ y que la mayoría de la representación general de esta Mentira el álgebra es de la forma: $$M_{\mu \nu} = L_{\mu \nu} + S_{\mu \nu}$$ where $S_{\mu \nu}$ son Hermitian operadores y satisfacer las mismas relaciones de conmutación como el de $L_{\mu \nu}$ and commute with them. However, I've been taught to think of a general representation of a Lie algebra as acting on some arbitrary Hilbert space. So how am I supposed to think of $S_{\mu \nu}$ as a tensor, and how does it make sense to add $S_{\mu \nu}$ to $L_{\mu \nu}$?

Answer 1

1. El $L_{\mu\nu}$ son infinitesimales generadores de la transformación de Lorentz en el espacio de los campos de funciones. Si usted desea ver como operadores en un espacio de Hilbert, solamente se considera el espacio de Hilbert de cuadrado integrable funciones. Los conmutadores de la $L_{\mu\nu}$ son las relaciones de conmutación de la Mentira álgebra $\mathfrak{so}(1,3)$, de modo que formen una representación de dicha álgebra.

   El griego índices en realidad significan que $L_{\mu\nu}$ es un tensor de Lorentz - acabo de comprobar lo que sucede en virtud de la transformación de $x\mapsto \Lambda x$. En realidad generar transformaciones de Lorenz en el sentido de que si ver el $L_{\mu\nu}$ como campos vectoriales en Minkowksi espacio de $\mathbb{R}^{1,3}$, entonces la curva integral de estos campos vectoriales son de la forma $x(t) = \Lambda(t)x_0$ donde $\Lambda(t)$ es una transformación de Lorentz que actúa sobre el punto de partida arbitrario $x_0$ de la integral de la curva. Esto también se explica en más detalle en el artículo de Wikipedia sobre el álgebra de Lie del grupo de Lorentz.

2. Se supone que tienes que leer la suma como una suma en un producto tensor. Tienes el "natural" de la representación de la $L_{\mu\nu}$ sobre el espacio de funciones, y ahora, en la mecánica cuántica, puedes adicionales han "interna" spin grados de libertad, por ejemplo, un spinor valores de campo como un Dirac spinor campo. Luego de tomar su espacio de funciones con valores de $F$ y el spinor espacio de $\mathbb{C}^4$, donde el $L$ actuar en $F$ y la acción de la Lorentz álgebra en $\mathbb{C}^4$ está dado por la $S$, y la forma de la combinación de espacio $F\otimes\mathbb{C}^4$ de spinor valores de los campos de funciones. A continuación, la acción de la Lorentz álgebra en este espacio está dado por $L_{\mu\nu}\otimes 1 + 1\otimes S_{\mu\nu}$, que es a menudo descuidada por escrito como $L+S$.