Se afirma que por el teorema de Zermelo, cada cardenal es un aleph. Pero, ¿cuál es la diferencia entre cardenales y alephs? Pensé que alephs eran sólo una manera de denotar a cardenales (sólo para la notación), pero entonces esta teoría no tiene sentido.
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El problema es el axioma de elección.
El $\aleph$ números de las cardinalidades de los conjuntos ordenados: si $A$ puede ser bien ordenado, entonces hay algunos menos ordinal $\alpha$ que puede ser bijected con $A$, y esta es la cardinalidad de a $\alpha$ (y tal ordinales en general son llamados "inicial ordinales"). En el caso de $A$ es infinito, se obtiene un $\aleph$ número (y realmente no hay nada interesante que decir acerca de las cardinalidades de finito de conjuntos).
Pero si el axioma de elección falla, no todo conjunto puede ser bien ordenado! Y entonces, si queremos hablar de la cardinalidad de un no-bien-paquete conjunto, tenemos que usar algo distinto a $\aleph$s.
En este punto vale la pena decir algunas palabras acerca de lo que la cardinalidad es.
En primer lugar, tenemos el "equinumerosity" relación $\equiv$: se escribe "$A\equiv B$" si hay un bijection entre el$A$$B$. Esto es fácil de definir, y no hay ningún problema con ello, si el axioma de elección se produce un error.
Ahora, ¿cuál es la cardinalidad de un conjunto $A$? Bien, aquí está la idea: queremos asociar algún objeto $\vert A\vert$ a cada conjunto de $A$, de tal manera que $\vert A\vert=\vert B\vert$ fib $A\equiv B$ (es decir, $\vert A\vert$ $\equiv$- invariante: si usted sabe lo $\vert A\vert$ es, entonces usted sabe lo $A$ es equinumerous). Una elección natural (esto es debido a Frege) es buscar toda la $\equiv$-clase - por ejemplo, el cardenal "$2$" es la colección de todos los $2$-elemento de los conjuntos. Por desgracia, esta es una clase adecuada, por lo que esto no funciona bien con ZFC.
En lugar de eso, tenemos que ser un poco ad hoc. La forma natural de revisión Frege la idea es que a través de Scott truco: vamos a $\vert A\vert$ ser el conjunto de todos los conjuntos de equinumerous con $A$ y de un mínimo de rango, y esto es de hecho un conjunto (y podemos pensar en ello como un "segmento inicial" de la clase Frege le importa). Esta definición, de nuevo, actúa con independencia del axioma de elección (aunque si dejamos caer tanto en la elección y la fundación, y de hecho creo que no hay una buena manera de definir la cardinalidad en la ausencia de ambos axiomas - en su lugar, usted tiene que trabajar con la relación "$\equiv$").
Ahora si $A$ es bien ordenado, podemos hacerlo mejor: como se observó anteriormente, podemos escoger un conjunto específico que es equinumerous con $A$! Y esa es la $\aleph$ número de $A$. En la presencia de elección, no hay ninguna razón para utilizar el Frege-estilo de la anterior definición, y nosotros simplemente equiparar "cardinalidad" con "$\aleph$-número". Pero si la opción falla, no podemos encontrar canónica de representantes para medir el tamaño de algunos de los conjuntos, por lo que tenemos que hacer algo más, como la de Scott truco (y nota que en el vinculado pregunta hay algún argumento para Scott el enfoque de la realidad de ser más natural, que tengo cierta simpatía con).
DanV
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Pozo. Los ordinales finitos son también cardenales, pero no son números de $\aleph$.
Pero sin el axioma de elección, puede haber juegos que no pueden ser bien ordenados, y por lo tanto su cardinalidad no se puede "medir" con $\aleph$ números. En caso se reserva a los cardenales de Scott, que nos permiten definir cardenales incluso en la ausencia de la opción, para cualquier conjunto.
