¿Es posible cuando se multiplican dos polinomios que, después de recoger términos similares, todos los términos desaparecen?

Question

Álgebra por Gelfand plantea esta pregunta con la respuesta notable ayuda de:

No. Probablemente este problema parece una tonto; está claro que no puede ocurrir. Si usted piensa así, por favor, reconsiderar el problema de varios años a partir de ahora.

Estoy seguro que el ingenio matemático se pierde sólo en mí, pero ya que puede perder algunos términos de multiplicar, no parece demasiado muy improbable a través de algunos matemático hechicería que hay casos donde se desvanecen. ¿Por qué es esto?

Answer 1

Si está trabajando con polinomios sobre un anillo con cero divisores, por ejemplo $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, entonces es posible que el producto de dos polinomios a desaparecer. Esto puede ser lo que Gelfand es tímidamente haciendo alusión a. Pero en el sentido ordinario de polinomios con coeficientes racionales, reales o complejas, el grado del producto es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican juntos.

Answer 2

Basta con mirar el % de coeficiente de orden más alto $-$no puede ser cero, ya que es el producto de los coeficientes de orden más alto de $p$ y $q$.

Answer 3

Considere el polinomio cero $p(x)=0$, entonces, ciertamente, multiplicar cualquier polinomio real por $p(x)$ rendimientos $0$.

Para un polinomio con $\deg\geq0$, sobre algún campo de $\mathbb{F}$, esto no es posible.

Considerar el general polinomio de la forma:

$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_o$$

Para $a_n$ con coeficientes reales o complejos.

Claramente, como multiplicar dos polinomios, el $\deg$ de cada plazo aumenta, excepto para el caso, lo que produce un proporcional polinomio.

Por lo que simplemente puede decir, para todos los $x\in \mathbb{R}$, de tal manera que los dos reales polinomios $p(x)g(x)=0$ implica $p(x) \ or \ g(x)=0$.

Answer 4

Sugerencia: Trate de considerar el producto de dos términos lineales: $(ax+b)(cx+d)$ donde $a,b,c,d$ son números reales con a $a,c$ ser distinto de cero. Cuando la expansión y la simplificación (recopilación de términos semejantes), para que condiciones es posible que los términos tienen coeficientes de cero?

Después de responder a esta pregunta, se puede generalizar esto para el producto de los dos no-cero polinomios de cualquier grado?

EDIT: Ahí está el pequeño problema de distinguir los polinomios y de funciones polinómicas. Se puede considerar de dos polinomios como iguales si y sólo si sus correspondientes coeficientes son iguales. Por otro lado, se puede considerar de dos polinomios como iguales si y sólo si son iguales como funciones (es decir, los polinomios $p,q$ son iguales si y sólo si $p(x) = q(x)$ son iguales para todas las $x$).

Resulta que para polinomios en $\mathbb{R}$, no necesitamos que preocuparse de tal distinción (aunque necesitaría si se tratara de polinomios sobre un anillo como Barry Cipra mencionó en su respuesta). Puede ser un buen ejercicio para mostrar que dos polinomios son iguales $\mathbb{R}$ si y sólo si son iguales como funciones polinómicas.

Answer 5

Si nuestros dos polinomios son $P(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ y $Q(x_1,x_2,\cdots, x_n)$, es decir $P(x_1,x_2,\cdots, x_n)\cdot Q(x_1,x_2,\cdots, x_n) = 0.$ si ninguno de estos polinomios están el polinomio cero, debe existir un conjunto de $(x_1,x_2,\cdots, x_n)$ tal que ningún polinomio evalúa a $0$ allí. Entonces $P\cdot Q \neq 0$.