Tenga cuidado con la noción de un punto. Si definimos a un punto de ser una de morfismos de la final del objeto, a continuación, cada grupo tiene un solo punto, que es aburrido.
Una de morfismos a un objeto inicial es sólo una de morfismos de un objeto final en el doble de la categoría. Por lo tanto, formalmente, nada nuevo sucede aquí. Pero este argumento ignora el hecho de que las categorías de intereses no son cerrados bajo duales (por supuesto que puede tomar el doble de cualquier categoría, pero afirman que a menudo esto no es interesante). Así que veamos ejemplos interesantes.
Muchos "geométrica" categorías llegar a ser extensa, y en una amplia categoría de la inicial del objeto es estricto, lo que significa que todos los morfismos es un isomorfismo. Los ejemplos incluyen $\mathsf{Set}$, $\mathsf{Top}$, $\mathsf{Man}$, $\mathsf{Sch}$, $\mathsf{Met}$, $\mathsf{Pos}$.
El otro extremo son las categorías con un cero de objeto. Aquí cada objeto tiene un único morfismos del objeto inicial, porque es final. Esto se aplica por ejemplo a $\mathsf{Ab}$ $\mathsf{Rng}$ (rng).
Ahora mira a $\mathsf{Ring}$, la categoría de los anillos (siempre con la unidad). El objeto inicial es $\mathbb{Z}$. Un homomorphism $R \to \mathbb{Z}$ es automáticamente surjective, por lo tanto está determinada por su núcleo. Este es un subrng de $R$. Por el contrario, si $S$ es un generador de números aleatorios, entonces podemos considerar que su unitalization $\tilde{S} \in \mathsf{Ring}$ junto con la canónica homomorphism $\tilde{S} \to \mathbb{Z}$. Estas construcciones son inversos el uno al otro y proporcionar una equivalencia de categorías $\mathsf{Ring} / \mathbb{Z} \simeq \mathsf{Rng}$.
En general, si $C$ es una categoría con objeto inicial $0$, $C/0$ cero el objeto $0:= (\mathrm{id} : 0 \to 0$) y está equipada con un olvidadizo functor $U : C/0 \to C$ asignación de $0 \mapsto 0$. Si $D$ es de otra categoría, con un cero el objeto $0$ y un functor $F : D \to C$ asignación de $0 \mapsto 0$, luego definimos $\tilde{F} : D \to C/0$ través $d \mapsto (F(d) \to F(0)=0)$. Claramente $F=U\tilde{F}$, $\tilde{F}(0)=0$ y $\tilde{F}$ es único con esta propiedad. Esto demuestra que $C \mapsto C/0$ es derecho medico adjunto del olvidadizo functor de la (meta)categoría de categorías con un cero (objeto y functors conservación de los mismos) a la (meta)categoría de categorías con un objeto inicial (y functors conservación de los mismos).
