¿No cada espacio métrico conectado, con más de un punto, contiene un subconjunto de camino conectado con más de un punto?

Question

Cada conectado espacio métrico , con más de un punto , contiene una ruta de acceso conectado subconjunto con más de un punto ? ¿Hay alguna condición adicional imponente que en la madre espacio, se garantiza la existencia de tales no trivial de la ruta de acceso conectado subconjunto ? Sé que cada conectado espacio métrico , con más de un punto , contiene una adecuada conectado subconjunto con más de un punto ; pero no puedo hacer ningún avance si queremos que el subconjunto a ser ruta de acceso conectado . Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

Me remito a una respuesta anterior de la mina en Mathoverflow Es cada conectado localmente subconjunto del espacio Euclídeo Rⁿ localmente ruta de acceso conectado. Esto demuestra que el avión puede ser dividido en un par de conectado (y conectado localmente) subconjuntos que contienen ninguna ruta de acceso conectado subespacios de más de un punto.

Se puede construir mucho más simples ejemplos en el plano, como la gráfica de una (no continua) la función $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Por ejemplo, considere la topologist de la curva sinusoidal $$ f(x)=\begin{cases} \sin(1/x),&{\rm if}x > 0,\\ 0,&{\rm if}x\le0. \end{casos} $$ Aunque este no es continua en a $0$, se tiene un grafo conexo $\{(x,f(x))\colon x\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{R}^2$. Ahora, vamos a $x_1,x_2,\ldots$ ser una secuencia densa en los reales. Por ejemplo, llevarlo a ser una enumeración de los racionales, y establecer $$ g(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}f(x-x_n) $$ Como $f$ está delimitado por $1$, esta suma converge uniformemente. No es difícil mostrar que $g$ también tiene un grafo conexo $G=\{(x,g(x))\colon x\in\mathbb{R}\}$, y es discontinua en cada una de las $x_n$. El hecho de que $g$ es discontinua en un denso subconjunto de los reales significa que no hay dos puntos en $G$ están conectados, en $G$, por una curva continua.