Sea $R = \mathbb Z[i]$ . Mostrar $I \cap \mathbb Z$ es un ideal en $\mathbb Z$ para todos $a \in I \cap \mathbb Z$ , $10 \mid a^2 = N(a)$ .

Question

Sea $R = \mathbb Z[i]$ , $z = 3+i$ y $I = \langle z \rangle$ .

Necesito mostrar $I \cap \mathbb Z$ es un ideal en $\mathbb Z$ para todos $a \in I \cap \mathbb Z$ , $10 \mid a^2 = N(a)$ y $10 \mid a$ y $10\mathbb Z = I \cap \mathbb Z$ .

Ya he demostrado que $10\mathbb Z \subset I$ desde $N(z) = 10$ .

Answer 1

Bueno, si $a\in\Bbb Z$ es tal que $10\mid a^2,$ entonces $2,5\mid a^2,$ así que $2,5\mid a$ (¿por qué?) y así $10\mid a$ (¿por qué?).

Una vez que haya demostrado que $I\cap\Bbb Z$ es un ideal de $\Bbb Z,$ se deduce que $I\cap\Bbb Z=n\Bbb Z$ para algún valor no negativo $n\in\Bbb Z.$ (¿Por qué?) Desde $10\Bbb Z\subseteq I\cap\Bbb Z=n\Bbb Z,$ entonces $n\mid10.$ Por otro lado, $n\in n\Bbb Z=I\cap\Bbb Z,$ así que $10\mid n$ por el trabajo anterior, y así hemos terminado.

Answer 2

Si, $(a+bi)(3+i)=(3a-b)+(3b+a)i \in I \cap \mathbb Z$ En particular $(a+bi)(3+i)=(3a-b)+(3b+a)i \in \mathcal Z$ implica $3b+a=0$

tomar un elemento $(a+bi)(3+i)\in I \cap \mathbb Z $ . Para mostrar cualquier $m.(a+bi)(3+i) \in I \cap \mathbb Z$ para cualquier $m\in\mathbb Z$ . Ahora $m.(a+bi)(3+i)=m.(3a-b)+m.(3b+a)i $ .

Ahora, $m.(3b+a)=0$ como $(3b+a)=0$ . Por lo tanto, $m.(a+bi)(3+i)\in \mathbb Z$ $m.(a+bi)(3+i)\in I$ como $I$ es un ideal en $\mathbb Z[i]$ .

Por lo tanto, para cualquier $m \in \mathcal Z$ , $m.(a+bi)(3+i)\in I \cap\mathbb Z$

Demuestra que $I\cap \mathbb Z$ es un ideal en $\mathbb Z$

Mostrar $I\cap \mathbb Z$ es un subring es fácil. Tomemos $(a+bi)(3+i) =3a-b$ y $(c+di)(3+i)=3c-d$ pertenece a $I \cap \mathbb Z$

Entonces, $(a+bi)(3+i)+(c+di)(3+i)=3a-b+3c-d =3(a+c)-(b+d)$ Observe que $((a+c)-(b+d)i(3+i)=3(a+c)-(b+d)$ Por lo tanto, la suma de dos elementos cualesquiera de $I \cap \mathbb Z$ pertenece a $I \cap \mathbb Z$ . Por lo tanto, es un subring.

Una prueba sencilla de que $I\cap \mathbb Z=10\mathbb Z$

Tenga en cuenta que si $(a+bi)(3+i)=(3a−b)+(3b+a)\in I\cap \mathbb Z $ si $3b+a=0$ ou $a=-3b$ es decir, cualquier elemento de $ I\cap \mathbb Z $ se verá como $(3b-ib)(3+i)=b(3-i)(3+i)=10b$ para alguna b pertenece a $\mathbb Z$ .

Por lo tanto, $I\cap \mathbb Z =10 \mathbb Z$

Answer 3

Escriba a $\bar z = 3-i$ entonces el subconjunto $\bar z \mathbb{Z}$ está en biyección con $I \cap \mathbb{Z}$ mediante multiplicación por $z$ . así $z \bar z = 10 \in I \cap \mathbb{Z}$ y cualquier elemento debe ser múltiplo de 10, todos los cuales se incluyen