¿Existe una ecuación general para una raíz cúbica de un número complejo que no explote Teorema de De Moivre o utilizar de alguna manera las funciones trigonométricas?
Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número complejo $x$ es $$\sqrt{\frac{|x|+\operatorname{Re}(x)}{2}}+i\sqrt{\frac{|x|-\operatorname{Re}(x)}{2}}.$$ ¿Existe una ecuación similar para una raíz cúbica de $x$ ?
Introduciendo $a$ y $b$ tal que $(a+ib)^3=x$ Podemos entonces expandir y obtener dos ecuaciones en $a$ y $b$ igualando las partes reales e imaginarias de cada lado.
Sin embargo, las ecuaciones resultantes son cúbicas y no conozco ningún método para encontrar las raíces de una ecuación cúbica sin tener que tomar la raíz cúbica de un número complejo, que es el problema que quiero resolver en primer lugar.
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La parte imaginaria debe tener $\text{sgn}(\text{Im}(x))$ ; en caso contrario, el cuadrado es $\text{Re}(x)+i|\text{Im}(x)|$ .
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Acabo de buscar esto mientras editaba esta respuesta . Para la sección "Trisección de un ángulo", necesito la raíz cúbica de un número complejo. Pero no puedo utilizar el Teorema de De Moivre porque el objetivo del ejercicio es encontrar expresiones para $\cos(\theta/3)$ y $\sin(\theta/3)$ .