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Raíz cúbica de número complejo sin funciones trigonométricas

¿Existe una ecuación general para una raíz cúbica de un número complejo que no explote Teorema de De Moivre o utilizar de alguna manera las funciones trigonométricas?

Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número complejo $x$ es $$\sqrt{\frac{|x|+\operatorname{Re}(x)}{2}}+i\sqrt{\frac{|x|-\operatorname{Re}(x)}{2}}.$$ ¿Existe una ecuación similar para una raíz cúbica de $x$ ?

Introduciendo $a$ y $b$ tal que $(a+ib)^3=x$ Podemos entonces expandir y obtener dos ecuaciones en $a$ y $b$ igualando las partes reales e imaginarias de cada lado.

Sin embargo, las ecuaciones resultantes son cúbicas y no conozco ningún método para encontrar las raíces de una ecuación cúbica sin tener que tomar la raíz cúbica de un número complejo, que es el problema que quiero resolver en primer lugar.

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La parte imaginaria debe tener $\text{sgn}(\text{Im}(x))$ ; en caso contrario, el cuadrado es $\text{Re}(x)+i|\text{Im}(x)|$ .

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Acabo de buscar esto mientras editaba esta respuesta . Para la sección "Trisección de un ángulo", necesito la raíz cúbica de un número complejo. Pero no puedo utilizar el Teorema de De Moivre porque el objetivo del ejercicio es encontrar expresiones para $\cos(\theta/3)$ y $\sin(\theta/3)$ .

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Stephan Aßmus Puntos 16

No existe una fórmula tan bonita para la raíz cúbica de un número complejo con partes reales e imaginarias distintas de cero. Si escribes las partes real e imaginaria de tu raíz cúbica, acabas resolviendo ecuaciones cúbicas en una variable que tienen tres raíces irracionales. Este es el Casus Irreducibilis http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

A su vez, para cada uno de esos cubos, El método de Cardano te lleva a encontrar las raíces cúbicas de otros números complejos. Todo muy circular, y nunca llega a ninguna parte.

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Me pregunto: ¿Tiene esto alguna relación con la imposibilidad general de triseccionar ángulos en las construcciones geométricas clásicas?

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@BrianTung: No; la trisección es imposible mediante regla y compás por una razón diferente (y mucho más sencilla): cada construcción de este tipo producirá una coordenada en una extensión cuadrática (del campo anterior) si es que la hay, y por tanto cada punto construible de este tipo se encuentra en una extensión de $\mathbb{Q}$ de grado una potencia de $2$ y por la ley de la torre debe tener un polinomio mínimo con grado también una potencia de $2$ . $\cos(20^\circ)$ tiene un polinomio mínimo cúbico sobre $\mathbb{Q}$ y, por tanto, no se puede construir de esta manera. Pero la construcción neusis puede hacer la trisección general.

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@BrianTung: De todas formas me refería a que la razón de las imposibilidades no están relacionadas, y sólo lo están por el hecho de que casus irreducibilis es equivalente a cúbica racional irreducible con 3 raíces reales, lo que a su vez está relacionado con la constructibilidad de los cosenos (vía irreducibilidad) ya que la cúbica $( 4x^3 - 3x - \cos(t) )$ tiene 3 raíces reales (a través del teorema del valor intermedio; prueba $x \in \{-1,-\frac12,0,1\}$ ). No hay ninguna relación con la definición original de casus irreducibilis en términos de radicales.

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Ludenir Santos Puntos 1

Yo escribí esa fórmula. Está en la wikipedia brasileña con el tema 'raiz cubica' (raíces cúbicas) o puedes buscar en google " Fórmula Luderiana Racional para la Extracción de Raíz Cúbica ".

Ludenir Santos

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Ludenir Santos Puntos 1

La fórmula devuelve aproximadamente 6 decimales exactos pero se puede volver a aplicar su resultado.

Raíz_del_c = k.(29*z^3+261*z^2+255*z+22)/(7*z^3+165*z^2+324*z+71))

z=c/(k^3)

Hay un par de ejemplos en las fuentes antes mencionadas.

La segunda parte de la explicación abarca las raíces cúbicas del número complejo 11+197i y explica por qué k se estima como 6 en este caso.

Para el segundo cálculo utiliza k=5,075...+i2,801...

El tienes las raíces del cubo: 5.094959166527+2.816594410153i

Y presenté dos fórmulas para encontrar las otras 2 raíces.

Pero aconsejo empezar a calcular raíces cúbicas del número rfeal hasta que te sientas cómodo con la fórmula.

Ludenir Santos

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