Si un filtro tiene un ultrafiltro único extendiéndola, entonces es que ultrafiltro (probar sin $\sf{AC}$)

Question

No estoy seguro de si $\sf AC$ (o de forma más conservadora, $\sf UF=$ hay un ultrafilter la ampliación de un determinado filtro) es necesario probar la siguiente declaración:

Para los filtros de $F,G$$\bigcup F=\bigcup G$, dicen que $F$ extends $G$ si $F\supseteq G$. Si $G$ tiene un único ultrafilter extensión de $F$,$F=G$.

Mi enfoque: Vamos a $X=\bigcup F=\bigcup G$, y supongamos $F$ es un ultrafilter extensión del filtro $G$ con $x\in F$, $x\notin G$. A continuación, $G\cup\{X\setminus x\}$ es un filtro de subbase, y $$H=\Big\{y\subseteq X\ \Big|\ \exists^{\rm fin}t\subseteq G\cup\{X\setminus x\}:\bigcap t\subseteq y\Big\}$$ is a filter that extends $G$. Now $X\setminus x\in H$ and $X\setminus x\noen F$, so $F$ cannot be an extension of $H$. Thus any ultrafilter extending $H$ would be a counterexample to the uniqueness of ultrafilters extending $G$.

Hay una manera de hacer este último paso, sin tener que invocar $\sf UF$, por alguna manera de tomar ventaja de la ultrafilter extensión de $F$? Me estoy imaginando alguna pequeña modificación de $F$ a un cambio en otro ultrafilter para que $x\in F$$X\setminus x\in F'$.

Answer 1

Supongamos que estamos en un modelo donde la siguientes es verdadera:

1. No hay libre ultrafilters en $\Bbb N$.
2. Existe un conjunto amorfo.

Primero de todo, tenga en cuenta que si $A$ amorfo, a continuación, $A$ lleva exactamente un libre ultrafilter, todos los cofinite subconjuntos. Entonces, en este modelo, $A\cup\Bbb N$ sólo tiene un único ultrafilter, todos aquellos que contengan una cofinite subconjunto de $A$.

Considere ahora el filtro de $F=\{A\cup M\mid M\text{ is a cofinite subset of }\Bbb N\}$. A continuación, $F$ no es libre y puede ser extendida a sólo uno libre de ultrafilter, pero consideremos ahora el filtro de $G$ generado por la adición de $\Bbb N$$F$, que el filtro no se puede extender más libre ultrafilters.

Lo que no es necesario utilizar alguna parte del axioma de elección para demostrar que, y de hecho la parte más limpia es la ultrafilter lema.