Evaluar : $$\lim_{n\to \infty }\frac{n!}{{{n}^{n}}}\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{n}^{k}}}{k!}-\sum\limits_{k=n+1}^{\infty }{\frac{{{n}^{k}}}{k!}}} \right)$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ramanujan demostró (en S. RAMANUJAN, J. Ind. Math. Soc. 3 (1911), 128; ibid. 4 (1911), 151-152; Collected Papers (Chelsea, Nueva York; 1962), 323-324) que
$$e^n/2 = \sum_{k=0}^{n-1} n^k/k! + (n^n/n!) r(n)$$
donde, para grandes $n$ , $r(n) \approx 1/3 + 4/(135n) + O(1/n^2)$ .
Encontré esto en http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FPEM%2FPEM2_24_03%2FS0013091500016503a.pdf&code=fd828d6902ca6a380244640216120c97 a través de una búsqueda en Google de "ramanujan exponential series" - Leí las obras completas de Ramanujan hace muchos años y recordé este resultado, pero no sus detalles.
Esto dice que
$\begin{align} \sum_{k=0}^{n} n^k/k! &\approx e^n/2 + n^n/n! -(n^n/n!)r(n) \\ &= e^n/2 + (n^n/n!)(1-r(n)) \end{align} $
También,
$\begin{align} \sum_{k=n+1}^{\infty} n^k/k! &= e^n - \sum_{k=0}^{n} n^k/k!\\ &= e^n - (e^n/2 + (n^n/n!)(1-r(n)))\\ &= e^n/2 - (n^n/n!)(1-r(n)) \end{align} $
así que
$\begin{align} \sum_{k=0}^{n} n^k/k! - \sum_{k=n+1}^{\infty} n^k/k! &\approx (e^n/2 + (n^n/n!)(1-r(n))) - (e^n/2 - (n^n/n!)(1-r(n)))\\ &= (n^n/n!)(2-2r(n)) \end{align} $
y
$\begin{align} (n!/n^n)\left(\sum_{k=0}^{n} n^k/k! - \sum_{k=n+1}^{\infty} n^k/k! \right) &\approx 2-2r(n) \\ &\to 2-2/3 \\ = 4/3 \end{align} $ .
¡GEdgar tiene razón! Buena suposición:)
