¿Nosotros podemos caracterizar el espacio de funciones reales analítica pero no real entero?

Question

Una compleja función con valores de $F,$ definida en un conjunto abierto $E$ en el avión $\mathbb R^{2}$, es decir para ser real-analítica en $E$ si para cada punto de $(s_{0}, t_{0})$ le corresponde una expansión con coeficientes complejos $$F(s, t)= \sum_{n,m=0}^{\infty} a_{nm}(s-s_{0})^{m} (t-t_{0})^{n},$$ que converge absolutamente para todos los $(s,t)$ en algunos barrios de $(s_{0}, t_{0}).$

Si $F$ está definida en todo el plano de $\mathbb R^{2}$ a través de una serie $$F(s, t)= \sum_{n,m=0}^{\infty} a_{nm}s^{m} t^{n},$$ que converge absolutamente para cada $(s,t),$ la llamamos $F$ real todo.

Vamos a presentar temporal notaciones, $$RA(\mathbb R^{2}):=\text{The space of real analytic functions on $\mathbb R^{2}$},$$ y $$RE(\mathbb R^{2}):=\text{The space of real entire functions on $\mathbb R^{2}$}$$

Nota. Tomamos nota de que, $RE(\mathbb R^{2}) \subset RA(\mathbb R^{2}).$

Ejemplo. Existe $$f(s,t) = \frac{1}{(1+s^{2}) (1+t^{2})}, (s,t \in \mathbb R).$$

es real - analítica en todo el plano de $\mathbb R^{2}$, pero no real-todo; es decir, $f\in RA(\mathbb R^{2})$ pero $f\notin RE(\mathbb R^{2}).$

Mi ingenuo preguntas son:

(1) ¿Cómo se puede construir algunos ejemplos más $f$, de modo que $f\in RA(\mathbb R^{2})$ pero $f\notin RE(\mathbb R^{2})$ ?

(2) Podemos pensar de algunos conocidos espacio para decir $E$, por lo que, $E\subset RA(\mathbb R^{2})\setminus RE(\mathbb R^{2})$ ?

(3) Podemos esperar para caracterizar el conjunto de $RA(\mathbb R^{2})\setminus RE(\mathbb R^{2})$(=El espacio de funciones de las que es real analítica, pero no es real todo) ?

Gracias,

Answer 1

1. Tomar una función $F$ de dos variables complejas $z,w$ tal que $F$ es holomorphic en un subconjunto abierto de $\mathbb C^2$ contiene $\mathbb R^2$, pero no es holomorphic en todos los de $\mathbb C^2$. A continuación, $F$ es real analítica en $\mathbb R^2$, pero no es real del todo. En efecto, si la serie $\sum_{n,m=0}^{\infty} a_{nm}(s-s_{0})^{m} (t-t_{0})^{n}$ absolutamente convergente para todos los $s,t\in \mathbb R^2$ sería también converge absolutamente para todos los $(s,t)\in \mathbb C^2$, por lo tanto la definición de una función holomorphic en $\mathbb C^2$. Ejemplos concretos puede ser obtenida por la toma de cualquier combinación de polinómicas y exponenciales funciones en $z,w$, dividido por un polinomio que no se desvanecen en $\mathbb R^2$ - $(s^2+1)(t^2+1)$ en tu ejemplo, o $s^4+t^6+1$, y así sucesivamente.

2. No. No sólo yo, el que no puede, pero estoy seguro de que no haya conocido el espacio de las funciones que requiere de analiticidad sin embargo, excluye real de la totalidad de las funciones.

3. La construcción en el punto 1 es exhaustiva: todas las RA\RE funciones surgir en este camino.