¿Por qué debería "la teoría de grafos ser parte de la educación de cada estudiante de matemáticas"?

Question

Hasta hace poco, pensaba que la teoría de grafos es un tema que es muy adecuado para las olimpiadas de matemáticas, pero que es un muy pequeño campo de la matemática actual de la investigación con no muchas conexiones a la "profundidad" de las áreas de las matemáticas.

Pero luego me tropecé con Bela Bollobas "la Moderna Teoría de grafos" en el que señala:

Ahora el tiempo ha llegado cuando la teoría de grafos, que debería ser parte de la educación de todo estudiante serio de las matemáticas y de las ciencias de la computación, tanto para su propio bien y para mejorar la apreciación de las matemáticas como un todo.

Por lo tanto, me pregunto si debo profundizar mis conocimientos de la teoría de grafos. Yo encontrar temas como espectral y al azar de la teoría de grafos muy interesante, pero no creo que yo soy nunca va a hacer la investigación sobre las puramente gráfico teórico de preguntas. Al contrario, estoy interesada sobre todo en áreas como la topología algebraica, la teoría algebraica de números y topología diferencial, y me pregunto si su útil tener algún conocimiento de la teoría de grafos al involucrarse en estos temas.

Así que mi pregunta es: ¿Por qué deben los estudiantes como yo, que son los aspirantes a una investigación matemática carrera en matemáticas áreas que no están directamente relacionados con la teoría de grafos, el estudio de los gráficos?

Answer 1

Las matemáticas no son tan claramente dividido en diferentes temas como parece ahora. Se trata de algún tipo de inmensa montaña, y la mayoría está oscurecido por las nubes y muy difícil de ver. Es importante tratar de buscar en la montaña, desde muchas perspectivas diferentes; de esta manera se puede ver una parte de la montaña que no se podía ver de otra manera, y que ayuda a comprender mejor la montaña como un todo (que es valioso, incluso si usted piensa que usted está interesado sólo en una pequeña parte de la montaña). La teoría de grafos es una de esas perspectivas.

Más específicamente, aquí están algunas conexiones interesantes que he aprendido acerca de entre la teoría de grafos y otros campos de las matemáticas a través de los años.

• Los gráficos pueden ser utilizados para analizar la descomposición del tensor de productos de representaciones en teoría de la representación. Véase, por ejemplo, esta entrada del blog. Esto está relacionado con una hermosa imagen llamada the McKay correspondencia; véase, por ejemplo, esta entrada del blog. (Hay algunos más sofisticados aspectos de la McKay correspondencia que implique la geometría algebraica no me toque en en ese puesto, sin embargo.)

• Los gráficos pueden ser utilizado como un juguete de modelo para la de Riemann colectores. Por ejemplo, como un colector de Riemann, tienen un Laplaciano. Esto le permite escribir varios análogos de ecuaciones diferenciales en un gráfico, como la ecuación del calor y la ecuación de onda. En este blog describo la ecuación de Schrödinger en un número finito de una gráfica de juguete modelo de la mecánica cuántica.

• Los gráficos también puede ser utilizado como un juguete de modelo para las curvas algebraicas. Por ejemplo, como una curva algebraica, tienen una noción de divisor y el divisor del grupo de clase. Véase, por ejemplo, este papel.

• Los gráficos también puede ser utilizado como un juguete de modelo para los campos de número. Por ejemplo, como (el anillo de los enteros de) un número de campo, tienen una idea de primer y zeta función, e incluso hay un análogo de la hipótesis de Riemann en esta configuración. Véase, por ejemplo, este libro.

Pero hay algo que decir para el aprendizaje acerca de los gráficos para su propio bien.

Answer 2

Si usted está más interesado en topología algebraica, sugiero no pasar mucho tiempo al estudio de la combinatoria de los aspectos de la teoría de grafos. Tambien es cierto que los gráficos de este modo aparecen en dichas áreas; por ejemplo, uno de los usos de los diagramas de Dynkin (que son los gráficos) para clasificar a los algebraica de los grupos y también se encuentran grupos. Es realmente muy elegante y útil para el trabajo en algebraicas grupos, pero se necesita muy poco de la teoría de grafos para esto. Los gráficos se utilizan a menudo cuando hay algún combinatoria estructura, pero de nuevo me duda (pero tal vez estoy equivocado) que saber un montón de teoría de grafos (como uno podría encontrar en el típico libro como Bondy) ayuda demasiado.

"Teoría de grafos" abarca mucho más que esto, sin embargo. Por ejemplo esperantista de la familia (generalización de expansor de familia) de los gráficos de surgir de forma natural, como una cierta familia de grafos de Cayley asociados a grupos finitos que son cocientes de grupos fundamentales (como las superficies de Riemann) de las curvas algebraicas, que provienen de cualquier familia de etale cubre. Esto puede ser usado para demostrar resultados interesantes acerca de las familias de diversos aritmética de los objetos y cómo se comportan de manera genérica.

Un excelente punto de partida para estos temas es el papel por Ellenberg, Hall, y Kowalski, "los gráficos de expansión, gonality, y la variación de representaciones de Galois". Esta fuente esperemos que debe despertar su imaginación acerca de estos temas y te animo a leer sobre estos temas.

El tipo de la teoría de grafos cubierto en un típico curso de graduación creo que no es tan frecuente en cada día de la topología algebraica y campos relacionados, ya que las cosas en la "típica de la teoría de grafos" estudios de las propiedades que no son invariantes bajo homotopy, y homotopy invariantes es de las cosas que topología algebraica está construyendo. No es sin embargo, una especie de "teoría de grafos" que es extremadamente útil en la topología y de la teoría de los números: es la teoría de la simplicial conjuntos (y simplicial objetos en cualquier categoría)! Eso no solo nos fijamos en los gráficos, pero los objetos que se construyen a partir superior simplicies demasiado. La teoría básica de simplicial objetos en topología algebraica cubre homotopy-tipo de cosas. Simplicial objetos, por ejemplo simplicial conjuntos, son completamente combinatoria definido. Por ejemplo, "agradable" simplicial conjuntos llamados fibrant tienen una noción de grupo fundamental y no es un functor de simplicial de los conjuntos de espacios llamados "geométrica realización" que envía un conjunto simplicial a un espacio, que para un gráfico sería el espacio topológico, y la noción de grupo fundamental de acuerdo con la combinatoria definido uno.

Simplicial conjuntos son tan fundamental en muchas áreas de álgebra, tales como: $K$-teoría (que se suele utilizar para definir el mayor $K$-grupos), de categoría superior a la teoría (que es una generalización de la categoría de la teoría y también tiene aplicaciones a $K$-teoría), álgebra homológica (herramienta esencial, el gato de no negativo de los complejos de la cadena de $R$-módulos es equivalente a la categoría de simplicial objetos en la categoría de $R$-módulos), topología algebraica sí, por supuesto, la geometría algebraica ($\mathbb{A}^1$ homotopy teoría), y un montón más de cosas que yo no sé acerca de eso estoy seguro.

Buenas fuentes para simplicial objetos son los siguientes:

• En mayo, "Simplicial Objetos en Topología Algebraica"
• Ch. 8 de Weibel, "Una Introducción al Álgebra Homológica" (probablemente debería empezar por aquí!)
• Goerss del libro "Simplicial Homotopy Teoría"
• Moerdijk y Toen "Simplicial Métodos para Operads y la Geometría Algebraica" (Parte 2 trata de la geometría algebraica)
• Ferrario y Piccinini "Simplicial Estructuras en Topología" (más topología)

Answer 3

La única razón es que es un campo activo hoy en día y usted debe tener muchas posibilidades en frente de usted cuando la elección de su ruta de acceso. Si usted trabaje en contacto con la geometría de la teoría de grafos probablemente no va a ayudar un montón.