Una definición común de $e$ es dado como $$e = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$ lo que puede ser demostrado ser equivalente a $$e=\lim_{h\rightarrow 0}\ \left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}$$ El uso más práctico de $e$ en primaria cálculo es, sin embargo, dado como $$1=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h - 1}{h}$$ el cual es utilizado como una declaración de que la pendiente de la $e^x$ $x=0$ $1$ que permite demostrar que $\frac{d}{dx}e^x=e^x$. Parece trivial demostrar que los dos límites anteriores son equivalentes, pero me parece no puede hacer ningún progreso, sin hacer algunos ilegales límite de operaciones. Sospecho que el problema es más profundo de lo que parece (sospecho que el problema es que aunque hemos definido $e$, no hemos dicho nada acerca de lo $e^x$ es). ¿Cómo se hace rigurosamente proceder a partir de la definición dada de $e$ para la pendiente límite?
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No estoy seguro de si tiene varias preguntas aquí, pero voy a tratar de responder a todos ellos. Para la obtención de: $$1=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h - 1}{h}$$
Comenzamos con la definición de un derivado:
$$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Si dejamos $f(x)=a^{x}$ donde $a \in \mathbb{R}$ a continuación,
$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h} - a^{x}}{h}$$ $$f'(x) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x}(a^{h} - 1)}{h}$$ $$f'(x) =a^{x} \left( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{h} - 1}{h} \right)$$ Si dejamos $a=e$, ya que el $e \in \mathbb{R}$ tenemos que $$f'(x) = e^{x} \left( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h} -1}{h} \right)$$ Usando la regla de l'hospital y que $e^{h}$ es continua en a $h=0$ podemos decir que, $$f'(x)= e^{x} \ln(e)$$ Así que, si lo evaluamos en $x=0$ tenemos, $$f'(0)=e^{0}=1$$ De modo que es la forma de obtener de una manera.
De otra manera iría de la siguiente manera: Deje $f(x)=\ln(x)$,$f'(x) = \frac{1}{x}$, lo $f'(1)=1$ y, a continuación, decimos, $$1= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$$ Porque me gusta x $$1 = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(1+x) - f(1)}{x}$$ $$1 = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x}$$ $$1 = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln(1+x)$$ $$1 = \lim_{x \rightarrow 0} \ln(1+x)^{\frac{1}{x}}$$ Elevar ambos lados por $e$ y obtenemos, $$e^{1} = e^\left({\lim_{x \rightarrow 0} \ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}\right)$$ $$e = \lim_{x \rightarrow 0} \text{ }e^\left({\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}\right)$$ $$e = \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$$ Y ahí tienes tu segunda formulación. Para el primero, solo deje $x = \frac{1}{n}$ y recibe, $$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$$
Espero que ayude! Déjeme saber si he cometido un error en alguna parte.
Es fácil ir desde el primer límite a la segunda y vuelta por el uso de la sustitución
$$z=\ln(1+h) \,,$$
Tenga en cuenta que esto es equivalente a $h= e^{z}-1$.
y la continuidad de la $\ln()$.
$$e=\lim_{h\rightarrow 0}\ \left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} \Leftrightarrow $$ $$1=\lim_{h\rightarrow 0}\ {\frac{\ln \left(1+h\right)}{h}} \Leftrightarrow$$ $$1=\lim_{z\rightarrow 0}\ {\frac{z}{e^z-1}} $$
La escritura de la prueba formal es fácil ahora, simplemente hay que tener cuidado de llenar a los detalles. Usted necesidad de utilizar la continuidad de la función logaritmo, el hecho de que $z=\ln(1+h)$ es un bijection de un barrio de cero a un barrio de cero; y lo que es más importante que para cada uno de los dos implicaciones $e$ y, por tanto, $\ln$ se definen de una manera diferente. Por lo tanto, realmente no se puede trabajar con si y sólo si, porque, a continuación, $\ln$ no tiene ningún sentido. Pero usted puede hacer cada implicación por separado facilidad...
