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Question

Estoy buscando una aproximación al entero más cercano de %#% $ #%

Wolfram alpha da para arriba y dice "tiempo de cálculo excedida".

Intenté, sin éxito, para aproximar la medida de los conjuntos de $$ \int_0^4\int_0^4\int_0^4 \sqrt{x^2+y^2+z^2}\,dx\,dy\,dz.$ $ pero en algunos casos es muy difícil calcular el volumen de la intersección entre un cubo y una cáscara esférica.

Answer 1

Integración numérica da el entero más cercano es $246$, desde $$I=\int_{[0,4]^3}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,d\mu=245.91154\ldots$ $ es la mejor manera de lograr una buena precisión "a mano" a estudiar el pdf de $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ $X,Y,Z$ son tres variables al azar independientes con una distribución uniforme sobre $[0,4]$, eventualmente con alguna forma cuantitativa del teorema de límite Central.

Desde $\mathbb{E}[X^2]=\frac{16}{3}$, la desigualdad de Jensen da $I\leq 4^4=256$.

De todos modos, tal integral admite también la forma cerrada: $$ I = \frac{32}{3} \left(6 \sqrt{3}-\pi +\log\left(3650401+2107560 \sqrt{3}\right)\right).$ $

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Con $\ds{\pars{~\mbox{spherical coordinates}~}\ r = \root{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$, tenemos $\ds{\nabla\cdot\pars{r\,\vec{r}} = {\vec{r} \over r}\cdot\vec{r} + 3r = 4r}$:

\begin{align}&\color{#c00000}{\int_{0}^{4}\int_{0}^{4}\int_{0}^{4}% \root{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\,\dd x\,\dd y\,\dd z} =\int_{\bracks{0,4}^{3}}r\,\dd^{3}\vec{r} =\int_{\bracks{0,4}^{3}}{1 \over 4}\,\nabla\cdot\pars{r\,\vec{r}}\,\dd^{3}\vec{r} \\[3mm]&={1 \over 4}\int_{\rm S}r\,\vec{r}\cdot\dd\vec{\rm S} ={1 \over 4}\int_{\braces{0,4}^{2}}\root{16 + y^{2} + z^{2}}\,4\,\dd y\,\dd z \\[3mm]&+{1 \over 4}\int_{\braces{0,4}^{2}}\root{x^{2} + 16 + z^{2}}\,4 \,\dd x\,\dd z +{1 \over 4}\int_{\braces{0,4}^{2}}\root{x^{2} + y^{2} + 16}\,4\,\dd x\,\dd y \end{align}

\begin{align}&\color{#66f}{\large\int_{0}^{4}\int_{0}^{4}\int_{0}^{4}% \root{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\,\dd x\,\dd y\,\dd z} =3\int_{\braces{0,4}^{2}}\root{x^{2} + y^{2} + 16}\,\dd x\,\dd y \\[3mm]&=3\int_{0}^{4}\int_{0}^{4}\root{x^{2} + y^{2} + 16}\,\dd y\,\dd x =192\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\root{x^{2} + y^{2} + 1}\,\dd y\,\dd x \\[3mm]&=48\int_{0}^{1}\left\{2\left[\root{x^{2} + 2} + \left(x^{2} + 1\right) \ln\left(\root{x^{2} + 2} + 1\right)\right] - \left(x^{2} + 1\right) \ln\left(x^{2} + 1\right)\right\}\,\dd x \\[3mm]&=\color{#66f}{\large% 64\left[\root{3} + \ln\left(7 + 4\root{3}\right)\right] - {32\pi \over3}} \approx {\tt 245.9115409} \end{align}

// monteCarlo0.cc
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long double ldouble;
typedef unsigned long long ullong;
const ldouble RANDMAX1=ldouble(RAND_MAX) + 1.0 L;
const ullong ITER=100000000ULL; // cien millones de
ldouble X,Y;

en línea ldouble f(ldouble x,ldouble y)
{
 return sqrt(x*x + y*y + 1.0 L);
}

en línea ldouble f()
{
X=rand()/RANDMAX1;
Y=rand()/RANDMAX1;
 retorno (f(X,Y) + f(X,1.0 L - Y) + f(1,0 L - X,Y) + f(1,0 L - X,1.0 L - Y))/4.0 L;
}

int main()
{
 ldouble suma=0;

 para ( ullong n=0 ; n<ITER ; ++n ) suma+=f();
cout<<setprecision(50)<<(192.0 L*(suma/ITER))<<endl;

 return 0;
}

Se ejecuta durante 7 segundos.

Resultado: $\ds{\color{#c00000}{\large 245.911}07650843407733676215798368502873927354812622}$.

Answer 3

Y ahora algo completamente al azar:

Integración de Monte Carlo da

Monte Carlo (n=1000) estimate=245.876995211
Monte Carlo (n=10000) estimate=246.605709455
Monte Carlo (n=100000) estimate=245.440557832
Monte Carlo (n=1000000) estimate=245.841098533
Monte Carlo (n=10000000) estimate=245.946260986

Generados a partir de los siguientes:

import math
import random

def norm(x):
    return math.sqrt(sum([xi*xi for xi in x]))

# returns a uniformly distributed sample in [0, 4]^3
def unif():
    return [random.uniform(0, 4) for i in (1, 2, 3)]

area = 4*4*4
for total_count in (1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000):
    sum_func = 0
    for i in xrange(total_count):
        x_samp = unif()
        sum_func += norm(x_samp)

    est_volume = sum_func/float(total_count)*area

    print("Monte Carlo (n=%s) estimate=%s" % (total_count, est_volume))