Coset izquierdo de algunos subgrupos es coset derecho del otro subgrupo

Question

Que $G$ ser un grupo. Si un subconjunto $A$ es un coset izquierdo de algunos subgrupos de $G$, luego demostrar que $A$ es un coset derecho de algún subgrupo de $G$.

Answer 1

Sugerencia: Si $g \in G$ y $H < G$ y $gh = (ghg^{-1})g$ % todos $h \in H$.

Answer 2

Digamos que usted toma un subconjunto $H$ del grupo $G$. Ahora, el un coset izquierdo de $H$ tendría particularmente este aspecto:

$$aH = {{ ah | \forall h \in H}}$$

Es el inverso del elemento general $ah$ $(ah)^{-1} = h^{-1}a^{-1}$. Cada elemento de un grupo tiene una inversa, por lo que se puede decir con seguridad que cualquier coset izquierdo también es un derecho coset.

Answer 3

@user98792: puede ver a partir de la respuesta que para un subgrupo $H$$G$, a la izquierda coset de $H$ corresponde a un derecho coset de los llamados conjugado subgrupo $H^g:=g^{-1}Hg$. Tenga en cuenta que si $H$ es normal de toda la izquierda cosets también a la derecha cosets.

El famoso grupo teórico de Philip Hall demostró una combinatoria resultado que se conoce como el Teorema de Matrimonio, lo que muestra que, por ejemplo, en el caso de que $G$ es finito (y $H$ no necesariamente normal) no se debe siempre a la izquierda coset de $H$ que es también un derecho coset de $H$.