Determinante de una matriz de desconocido.

Question

Deje $x, y$ ser de dos variables reales. Si $A$ cualquier $n\times n$ matriz con todas las entradas en el conjunto de $\{x,y\}$ demostrar que \begin{equation} \det A = (x-y)^{n-1}(Px + (-1)^{n-1}Qy) \end{equation} donde $P,Q$ son números enteros definidos por \begin{equation} P = \det A\big|_{x=1,y=0} \quad Q = \det A\big|_{x=0,y=1}. \end{equation}

He intentado hacer esto mediante el uso de la inducción y comenzó a para $n=2.$ Pero estoy confundido acerca de la matriz que se forma, ya que hay más de una posibilidad para un $2\times 2$ matriz. Por ejemplo \begin{equation} \begin{bmatrix} x & y \\ y & x \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x & x \\ y & x \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x & y \\ x & y \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y & y \\ y & x \end{bmatrix},... \end{equation} Hay 12 más posibilidades. He comprobado par de casos y el resultado se da, pero no tengo idea como para demostrar que en la generalidad sin la revisión de cada caso. Realmente agradecería cualquier ayuda. También si me puede dar alguna referencia de donde este tipo de problema es tener que también me ayudan mucho. Gracias de antemano.

Answer 1

Está claro que $\det A(x,y)$ es un polinomio homogéneo en $x,y$ grado $n$. Si se denota la matriz con todas las entradas igual a$1$$M$,$A=yM + (x-y)B$,$B=A(1,0)$. Ahora $M$ $n$ veces una proyección sobre el vector con todas las $1$'s), así que si nos diagonalize, obtenemos $$ S^{-1}MS = n \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0_{n-1,n-1}\end{pmatrix} . $$ Por lo tanto $(x-y)^{n-1}$, de hecho, se divide $$ \det a = \det (i S^{-1}MS + (x-y)S^{-1}BS ) , $$ porque sólo una entrada de la matriz en el lado derecho no es un múltiplo de a $x-y$.

Así, ahora sabemos que $$ \det a = (x-y)^{n-1} (ax + by) , $$ y luego de confirmar que $a,b$ son tal como se afirmó en la comparación de los valores en$x=0,y=1$$x=1,y=0$.