Encontrar

Question

Encontrar $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)\left(1+\dfrac{1}{4n}\right)\ldots\left(1+\dfrac{1}{2^{n-1}n}\right)$.

(Este no es mi tarea. Uno de mis amigos esto me dio.)

Answer 1

Aplicar el GM-AM inquality para obtener:

$$\begin{align} \prod_{j=1}^n\left(1+\frac1{2^{j-1}n}\right)&\leq\left(1+\frac1{n^2}\frac{1+\cdots+2^{n-1}}{2^{n-1}}\right)^n\\ &\leq\left(1+\frac2{n^2}\right)^n \end {Alinee el} $$

Puesto que la última expresión tiende a $1$, el límite es de $\leq1$

Puesto que cada factor es mayor que $1$, el límite debe ser $1$.

Answer 2

Que $y$ sea el valor del límite. Entonces, es muy grande, que podemos trabajar bajo la aproximación $$\ln y=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\frac{1}{2^{k-1}n}\right)$ $ por lo tanto, $\dfrac{1}{2^{k-1}n}$ $ $$\ln\left(1+\frac{1}{2^{k-1}n}\right) \approx \frac{1}{2^{k-1}n}$ $ $$\ln y=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k-1}n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{n}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=0$ $ desde el denominador en $$\Rightarrow y=e^0=\boxed{1}$

Answer 3

¿No $1$? Las expresiones fraccionarias dentro de los paréntesis están cero $n\to \infty$.

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0$$ $$\vdots$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n-1}n}=0$$

Por lo tanto la respuesta es $1$