Dadas dos variables aleatorias independientes X y Y, ¿cómo puedo encontrar el PDF de la variable aleatoria $Z=XY$?
* Si su distribución conjunta se requiere, asumir que también lo tenemos.
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Si $X$ $Y$ son dos variables aleatorias, usted puede encontrar la distribución del producto de la siguiente manera: $$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|t|} f_X\left(t\right)f_Y\left(\frac{z}{t}\right)dt $$ Para ver esto, suponga que la distribución de $X$ es continua en 0: $$ P(Z\leq z)=P(X\leq z)= P(Y\leq \frac{z}{X}\big|X>0)P(X>0)+P(Y\geq \frac{z}{X}\big|X<0)P(X<0)= $$ $$ =\int_{0}^{\infty} P(Y\leq \frac{z}{t}\big)f_X\left(t\right)dt+ \int_{-\infty}^{0} P(Y\geq \frac{z}{t}\big) f_X\left(t\right)dt $$ Podemos encontrar la etimología de ambos lados w.r.t. $z$ y obtenemos:
$$ f_Z(z)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} f_Y(\frac{z}{t}\big)f_X\left(t\right)dt+ \int_{-\infty}^{0} \frac{-1}{t} f_Y(\frac{z}{t}\big) f_X\left(t\right)dt $$ $$ =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|t|} f_X\left(t\right)f_Y\left(\frac{z}{t}\right)dt $$ La moraleja: no siempre es posible el uso de esta fórmula.
Felix Marin
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\begin{align} {\cal P}\left(Z\right) &= {{\rm d} \over {\rm d}Z}\int_{-\infty}^{Z}{\cal P}\left(Z'\right)\,{\rm d}Z' = {{\rm d} \over {\rm d}Z}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} {\rm P_{X}}\left(X\right)\,{\rm P_{Y}}\left(Y\right)\, \Theta\left(Z - XY\right)\,{\rm d}X\,{\rm d}Y\, \\[3mm]&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} {\rm P_{X}}\left(X\right)\,{\rm P_{Y}}\left(Y\right)\, \delta\left(Z - XY\right)\,{\rm d}X\,{\rm d}Y\, = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} {\rm P_{X}}\left(X\right)\,{\rm P_{Y}}\left(Y\right)\, {\delta\left(Y - Z/X\right) \over \left\vert X\right\vert}\,{\rm d}X\,{\rm d}Y\, \end {Alinee el}
$$\begin{array}{|c|}\hline\\ \color{#ff0000}{\large\quad% {\cal P}\left(Z\right) = \int_{-\infty}^{\infty} {\rm P_{X}}\left(X\right)\,{\rm P_{Y}}\left(Z \over X\right)\, \,{{\rm d}X \over \left\vert X\right\vert} \quad} \\ \\ \hline \end{matriz} $$
