Demostrar que si $7^n-3^n$ es divisible por $n>1$, $n$ debe ser uniforme.

Question

He intentado utilizar la factorización de $a^n-b^n$ por extraño $n$, en un intento de trabajar a través de una situación en la que los factores son tales que no pueden tener n como un factor. Pero he llegado a ninguna parte. He aquí cómo procedí -

$$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$$

a-b=4 y puede ser ignorado.

El último término es esencialmente extraño y no divisible por cualquier número impar hasta $9$ (fácil de probar sin entrar en los cálculos).

Sin embargo, para algunos arbitraria número impar $x=p^k$ donde $p \ge 11$ es primo, no puedo decir si la suma de dos términos es divisible por $x$ o no cuando los dos términos son individualmente no divisible por $x$.

Answer 1

Este es uno de mis favoritos de la teoría de los números problemas debido a que el truco a continuación :

Suponga que $n$ es impar . Deje $p$ ser el menor factor primo de $n$ (obviamente es impar y no puede ser $3$ o $7$)

A partir de Fermat poco teorema :

$$p \mid 7^{p-1}-3^{p-1} \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{p}$$

También se sabe que :

$$p \mid n \mid 7^n-3^n$$

Ahora voy a usar un estándar lema fácilmente comprobable por inducción :

Lema Si $a,b,n,m$ son enteros positivos y $(a,b)=1$, entonces : $$(a^n-b^n,a^m-b^m)=a^{(n,m)}-b^{(n,m)}$$

El uso de este lema aquí, así que :

$$p \mid (7^{p-1}-3^{p-1},7^n-3^n)=7^{(n,p-1)}-3^{(n,p-1)}$$

Aquí viene la parte impresionante :

Debido a $p$ es el menor factor primo de $n$ debemos tener $(p-1,n)=1$ . Para ver esto supone que hay un primer $q$ tal que $ q \mid n$ $q\mid p-1$ esto significa que el$q <p$$ q \mid n$, lo que contradice la minimality de $p$

$(n,p-1)=1$ , por lo que podemos simplificar :

$$p \mid 4$$ which is a contradiction because $p$ es impar .

Answer 2

Si $n\mid 7^n-3^n$ y $n>1$, entonces sea el divisor menos privilegiado de $p$ $n$.

Claramente $\gcd(21,p)=1$, que $\left(7\cdot 3^{-1}\right)^n\equiv 1\pmod{p}$, es decir, $\text{ord}_p\left(7\cdot 3^{-1}\right)\mid n$.

De Fermat poco teorema $\text{ord}_p\left(7\cdot 3^{-1}\right)\mid p-1$. Por lo tanto $\text{ord}_p\left(7\cdot 3^{-1}\right)\mid \gcd(n,p-1)=1$, que $7\cdot 3^{-1}\equiv 1\pmod{p}$, que $7\equiv 3\pmod{p}$, que $p\mid 7-3=4$, que $p=2$.