Una secuencia que nos dice si una función holomorfa de varias variables es idénticamente cero

Question

¿Existe alguna secuencia $\{ Z_{\nu} \}_{\nu \in \mathbb{N}}$ en $\mathbb{C}^{n}$ , $Z_{\nu} \rightarrow 0$ tal que cualquier función holomorfa en $\mathbb{C}^{n}$ que desaparece en $Z_{\nu}$ para todos $\nu \in \mathbb{N}$ es idénticamente cero?

Gracias.

Answer 1

Sea $\{ Z_{\nu}' \}_{\nu \in \mathbb{N}}$ sea una sucesión densa en la bola unitaria $B(0;1)$ . Definir una nueva secuencia $\{ Z_{\nu} \}_{\nu \in \mathbb{N}}$ por

$$Z_{1}', \frac{Z_{1}'}{2}, \frac{Z_{2}'}{3}, \frac{Z_{1}'}{4}, \frac{Z_{2}'}{5}, \frac{Z_{3}'}{6}, \frac{Z_{1}'}{7}, \frac{Z_{2}'}{8}, \frac{Z_{3}'}{9}, \frac{Z_{4}'}{10} \cdots$$

A continuación, para cada $Z' \in \{ Z_{\nu}' \}$ tenemos $\nu Z_{\nu} = Z'$ para un número infinito de $\nu \in \mathbb{N}$ . Esto significa que $Z_{\nu} = \frac{Z'}{\nu} \rightarrow 0$ . Entonces, cualquier función holomorfa en $\mathbb{C}^{n}$ que desaparece en la secuencia $\{ Z_{\nu} \}$ tiene, en particular, una subsecuencia de ceros acumulativos al origen que pertenecen a la línea compleja generada por cualquier $Z'$ . Por lo tanto, desaparece idénticamente en esa línea compleja, por el principio de ceros aislados en una variable. Como la unión de estas rectas es densa en $\mathbb{C}^{n}$ la función es idénticamente cero por continuidad.

Gracias a Pietro Majer .