¿Si $A$ es un dominio noetheriano y $A_p$ es una UFD para algún ideal principal, hay un $f$ no es contenida en $p$ tal que $A_f$ es una UFD?
Respuesta
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La respuesta es no en general.
Deje $C$ ser una suave curva proyectiva sobre algún campo $K$, de positivo género. Deje $U$ ser un no-vacío afín a abrir subconjunto de $C$ y deje $A=\mathcal O_C(U)$. A continuación, $A$ es un dominio de Dedekind. En particular, la localización de $A$ en cualquier prime ideal es un PID, por lo tanto UFD. Deje $V\subseteq U$ ser un subconjunto abierto (por ejemplo, definido como:$D(f)$,$\mathcal O_X(V)=A_f$) y veamos si $\mathcal O_X(V)$ es UFD, o, equivalentemente, PID, o $\mathrm{Pic}(V)=\{ 1\}$ (el grupo de Picard de $V$ es el mismo que el de la clase de grupo ideal de $\mathcal O_X(V)$).
Deje $p_1,\dots, p_n$ ser los puntos en el complemento de $V$$C$. Cualquier divisor de grado $0$ $C$ da lugar, por la restricción, a es un divisor de a $V$. Por otra parte, esta restricción es compatible con la equivalencia lineal. Así que tenemos un canónica mapa $$ \mathrm{Pic}^0(C)\to \mathrm{Pic}(V).$$ Edición (gracias a Georges comentarios) Los elementos del núcleo de este mapa son todas las combinaciones lineales de las clases de $p_1, \dots, p_n$: si un divisor $D$ $C$ es trivial en $V$,$D\sim \sum_i a_ip_i$$a_i\in \mathbb Z$. Por lo tanto obtenemos una secuencia exacta $$ 0\to H \to \mathrm{Pic}^0(C)\to \mathrm{Pic}(V)$$ con $H$ un finitely generado abelian grupo. final de la edición.
Si $\mathcal O_C(V)$ ha trivial Picard grupo, a continuación, $\mathrm{ Pic}^0(C)$ es un finitely generado abelian grupo. Pero esto no es siempre cierto. De hecho, si $J$ es el Jacobiano de $C$ (y supongamos $C$ tiene un punto racional en $K$),$\mathrm{ Pic}^0(C)=J(K)$. Si $K$ es algebraicamente cerrado e incontables, a continuación, $J(K)$ es incontable porque $J$ es una expresión algebraica variedad de dimensión positiva (igual que en el género de $C$).
Ejemplo concreto: supongamos $C$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb C$ y tome $U=C\setminus \{ 0\}$. A continuación, para todos $f\in A:=\mathcal O_C(U)$, $A_f$ nunca es un PID.
