Contexto
A partir de la definición de la integral criterio, sabemos que
$$\sum \frac 1{n^s}$$
converge al $s>1$.
Continuar en el mismo camino, sabemos gracias a Bertrand de la serie que
$$\sum \frac 1{n\ln (n)^s}$$
converge al $s>1$.
Y así sucesivamente, es decir, si observamos $\ln^{(k)}$ $k$- ésima iteración del logaritmo:
$$\ln^{(k)}:=\underbrace{\ln\circ\ln\circ\cdots\circ\ln}_{k \text{ times}}$$
a continuación, para todos los $\ell$
$$\sum \left(\ln^{(\ell)}(n)^s\prod_{k=0}^{\ell-1} \ln^{(k)}(n)\right)^{-1}$$
converge al $s>1$.
El problema
Así que me preguntaba ¿qué sucede en el límite. ¿Va el infinito, o lo hace converger ?
Vamos a considerar la siguiente serie:
$$\mathscr S:=\sum_{n=1}^\infty \left(\prod_{\substack{k=0 \\ \ln^{(k)}(n)\geqslant 1}}^{\infty} \ln^{(k)}(n)\right)^{-1},$$
donde la aparentemente infinita de producto es en realidad finita para todas las $k$.
Básicamente, tomamos como mucho logaritmo como podemos para que no sea menor que $1$.
Concretamente
Tenemos $\ln^{(0)}(1)=1\geqslant 1$$\ln^{(1)}(1)=0< 1$, por lo que nos paramos.
Y $\ln^{(0)}(2)=2\geqslant 1$$\ln^{(1)}(2)\approx 0.69< 1$, por lo que nos paramos.
-
Y $\ln^{(1)}(3)\approx 1.1\geqslant 1$$\ln^{(2)}(3)\approx 0.1< 1$, por lo que nos paramos.
$\vdots$
Y $\ln^{(1)}(15)\approx 2.7\geqslant 1$$\ln^{(2)}(15)\approx 0.996< 1$, por lo que nos paramos.
-
Y $\ln^{(2)}(16)\approx 1.02\geqslant 1$$\ln^{(3)}(16)\approx 0.02< 1$, por lo que nos paramos.
$\vdots$
Así se inicia de esta manera:
$$\mathscr S=\frac 11+\frac 1{2}+\frac 1{3\ln (3)}\ldots+\frac 1{15\ln (15)}+\frac 1{16\ln (16)\ln\ln (16)}+\ldots.$$
La pregunta
Qué $\mathscr S$ convergen ?
Qué podría funcionar
- Podemos probar de Riemann criterio y Bertrand uno, usando la prueba de condensación de Cauchy:
$$\sum f(n)<\infty \iff \sum 2^nf(2^n)<\infty.$$
Pero yo no llegué a ningún lado.
- También podemos notar que desde que desee $n$ tal que
$$1\leqslant \log^{(k)}(n)<e$$
queremos $n$ sucht que
$$e^{(k)}\leqslant n < e^{(k+1)}.$$
Así podemos reescribir la serie:
$$\mathscr S:=\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=[e^{(k)}]+1}^{[e^{(k+1)}]}\left(\prod_{\ell=0}^{k} \ln^{(\ell)}(n)\right)^{-1}.$$
Por lo tanto, si tomamos $n\in \{[e^{(k)}]+1, \ldots, [e^{(k+1)}]\}$ tenemos:
$$\sum_{n=[e^{(k)}]+1}^{[e^{(k+1)}]}\left(\prod_{\substack{\ell=0 \\ \ln^{(k)}(n)\geqslant 1}}^{k} \ln^{(\ell)}(n)\right)^{-1}\leqslant \frac{e^{(k+1)}-e^{(k)}}{\displaystyle\prod_{\ell=0}^{k} \ln^{(\ell)}(e^{(k+1)})}=\frac{e^{(k+1)}-e^{(k)}}{\displaystyle\prod_{\ell=0}^{k} e^{(\ell)}}.$$
Ahora sólo tenemos que entender si o no
$$\sum_{k=0}^{\infty} (e^{(k+1)}-e^{(k)})\left(\prod_{\ell=0}^{k} e^{(\ell)}\right)^{-1}$$
converge.
