¿Cerrado función de forma relacionadas con el parámetro natural de la distribución logarítmica de la serie $\mu$?

Question

Mientras que responder a otra pregunta aquí, como he mencionado, la logarítmica de la serie de distribución como un modelo posible para la especie por el género.

En el curso de mirar el pmf al responder que me di cuenta de que era exponencial de la familia (un hecho que antes no había sido consciente de).

La parametrización de los pmf en la página de la Wikipedia (que hasta el cambio de los símbolos es la única forma que yo he visto) es de la forma

$$f(y) = c(p) . p^y/y\,,\qquad 0<p<1\,;\: y=1,2,3,...$$

donde $c(p)=\frac{1}{\log(\frac{1}{1-p})}=-\frac{1}{\log(1-p)}$ es el de la normalización de la constante.

Mediante el examen de la "forma estándar" para la exponencial de la familia vemos que el natural parámetro, $\theta=\log(p)$ (y también que la suficiente estadística $T(x)=x$, por lo que el MLE para una constante $p$ debe ser una función de la media de la muestra, y en ese caso sería de esperar MLE debe ser equivalente al método de los momentos, que resulta ser el caso).

[Por lo que se ve como si tuviéramos un glm con un modelo de $\theta=\log p=X\beta$, $X'y$ debe ser suficiente para $\beta$.]

Es bastante fácil de derivar $\mu$ como una función de la $p$ (la serie es trivial para la suma), o (lo mira en términos de la exponencial de la familia) para que tome $b'(\theta)$, y de cualquier forma de escritura $\mu$ en términos de $\theta$:

$$\mu = c(p)\cdot \frac{p}{1-p} = -\frac{1}{\log(1-e^\theta)}\cdot \frac{e^\theta}{1-e^\theta}\,.$$

Incluso es bastante factible para el cálculo de la varianza de la función de $V(\mu)$.

Sin embargo no es inmediatamente claro para mí cómo invertir significa esto que la función para escribir $\theta$ (o, equivalentemente, $p$) como una función de la $\mu$ (que sería conveniente tener, ya que es la función de enlace). Puede ser el cansancio o podría ser difícil, pero no podía ver cómo llegar a ninguna parte con él... así que a la pregunta:

Puede $\theta(\mu)$ ser escrita en la forma cerrada?

($p(\mu)$ va a hacer igual de bien)

Yo no quiero ser demasiado pedante sobre lo que está incluido en la forma cerrada; es útil ser capaz de escribir estas cosas en términos de funciones conocidas con propiedades conocidas, que pueden ser relativamente fácil evalúa mediante una llamada a alguna función. Expresiones en términos de más o menos "estándar" de las funciones que están comúnmente disponibles en los paquetes, como funciones Gamma, o incluso de decir Lambert-W funciones (o incluso de las diversas formas de funciones hipergeométricas supongo) podría contar, estoy más interesado en lo útil que las cosas que podemos decir acerca de $\theta(\mu)$ y la facilidad con la que podemos evaluar es (más allá de la evidente el paso de la toma de la ecuación anterior para $\mu$-como-una-función-de-$\theta$ y sólo de problemas para $\theta$ según sea necesario).

Answer 1

Tienes la respuesta en tu pregunta: Lambert-W.

En R se puede utilizar

# Load library
  library(LambertW)

# Define function to obtain p from mu
  p <- function(mu) {1 - exp((1/mu) + W(-1/(mu*exp(1/mu)),-1))}

# Show (visually) that the function provides the correct values
  mu <- 1 + 10*c(0:100)/100
  plot(p(mu), mu, xlab="p", ylab="mu", las=1)
  pp <- c(1:99)/100
  lines(pp, -pp/((1-pp)*log(1-pp)))

para obtener

En Mathematica se pueden utilizar

data = Table[{1 - Exp[(1/mu) + 
       ProductLog[-1, -1/(mu Exp[1/mu])]], mu}, {mu, 1.01, 5, 0.01}];
cp = -1/Log[1 - p];
ListPlot[{data, Table[{p, cp p/(1 - p)}, {p, 0.1, 0.93, 0.01}]}, 
 PlotStyle -> {{PointSize[0.03]}, {PointSize[0.01]}}]  

(Mathematica se utilizó para determinar la forma general de la relación para determinar $p$ de $\mu$.)