Creo que no es completamente claro que la cardinalidad y la densidad del medio.
En primer lugar, la cardinalidad es el "crudo" concepto de tamaño. Para dos conjuntos tienen la misma cardinalidad que necesitan sólo un bijection, es decir, "existe una tabla con dos columnas, una para cada conjunto, y todos los elementos que aparecen exactamente una vez en esa columna."
La noción de que usted describe se llama Dedekind infinito, que es el de tener la misma cardinalidad como subconjunto.
Como para la densidad, esto puede ser tratado en varios aspectos:
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Un denso conjunto ordenado es un conjunto tal que para cada a $x,y$ hay $z$ que es estrictamente entre ellos. Los racionales son tales conjunto de los enteros positivos no son.
Si hay un primer y/o último punto (por ejemplo, todos los no-negativo racionales que son menos o igual a uno), a continuación, es la costumbre de excluir los puntos finales de la densidad de criterios y decir que hay un primer/último punto.
- Topológico densos conjuntos: si $A$ es un espacio topológico, a continuación, $D\subseteq A$ es denso en $A$ si y sólo si su intersección con cada conjunto abierto es no vacío. Los racionales son densos en los números reales, en este sentido, ya que cada intervalo vacío contiene un punto racional dentro de ella.
Si el espacio topológico está dotado de un orden lineal de la topología (por ejemplo, los números reales), a continuación, un denso conjunto en el sentido topológico es un denso, el orden (aunque no a la inversa, considerar todos los números reales frente a los racionales entre $-1$$1$)
El real en los números de dar el ejemplo de un gran espacio (su cardinalidad es continuo) con una muy pequeña (contables) subconjunto que es más densa (topológicamente).
La tercera noción de tamaño es la medida, que se traduce, a volumen. Un gran conjunto es un conjunto de medida positiva (o igual medida, a la medida de todo el espacio).
La medida de Lebesgue es una manera de determinar el volumen de los subconjuntos de los números reales en la forma en que queremos que funcione, es que si acabamos de cambiar todo el conjunto no va a cambiar su volumen y si estiramos el volumen aumentará a medida que el factor de que se extendía por.
Se puede construir un conjunto que es de la medida de Lebesgue $0$ (es decir, no tiene volumen en todos), no densa en cualquier momento (es decir, si un punto está fuera del conjunto, entonces tiene un intervalo abierto que no intersecta con este juego) y sin embargo es la cardinalidad del continuo. Esto se puede generalizar a tener cualquier volumen que queremos así.
Por lo tanto, las nociones apenas están relacionadas, si tenemos un muy pequeño (cardinalidad) establece que es densa (gran topológicamente) y otro conjunto que es muy grande en la cardinalidad pero topológicamente hablando, es muy, muy pequeña.
Para resumir, hay muchas maneras diferentes para medir qué tan grande de un conjunto es y se hace más y más complejo, con cada nueva técnica de adquirir (filtros, cofinality, y más). Ellos pueden o no pueden tener relación o correlación, pero el caso es que por lo general queremos una nueva forma de "tamaño" los conjuntos, sobre todo porque los que tenemos no son suficientes o incómodo para la tarea a mano.
