¿Qué es $\operatorname{Spec}\mathbf{C}[[x,y]]/(y^{2} - x^{3} - x^{2})$?

Question

Deje $X = \operatorname{Spec} \mathbf{C}[[x,y]]/(y^{2} - x^{3} - x^{2})$. Me gustaría describir $X$ set-teóricamente. Mis preguntas son: ¿Puede uno decir explícitamente lo que los elementos en $X$ son? Es posible interpretar geométricamente? Y es $X$ irreductible?

No estoy realmente seguro de por dónde empezar. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Geométricamente usted está considerando el germen de singular nodo en el origen, que es en la singularidad. El nodo es $ N = \textrm{Spec} ( \mathbf{C}[x,y]/(y^{2} - x^{3} - x^{2})) $ y es irreductible afín a la curva, porque polinomio $y^{2} - x^{3} - x^{2}$ es irreductible en el polinomio anillo de $\mathbf{C}[x,y]$. Sin embargo, su germen $X$ es reducible: esto es debido a que el polinomio $y^{2} - x^{3} - x^{2}$ se reduce en los poderes formales de la serie ring : $\; y^{2} - x^{3} - x^{2}=(y-x\sqrt{1+x})(y+x\sqrt{1+x})\in \mathbf{C}[[x,y]]$ donde $\sqrt{1+x}= 1+\frac{1}{2}x+...$ puede ser desarrollado por el binomio de Newton en $\mathbf{C}[[x,y]]$.

Así, en el esquema de sentido $X$ contiene tres puntos: origen (= singularidad )y dos genéricos puntos de dos irreductible componentes de $N$.

Esto es muy interesante lo puesto que el nodo permanece irreductible en cada barrio de origen en el plano afín $\textrm{Spec} ( \mathbf{C}[x,y])$ pero al pasar a la formalidad de la serie que obliga a la curva de dividir en dos componentes. Así, la intuición debería ser el que se va a formal de la serie es la forma fuerte de la localización.