Probar es un Ideal Maximal en $M$ $\Bbb Z\times \Bbb Z$

Question

Un problema de introducción para abstraer álgebra por Hungerford.

Pregunta: si $p$ es un entero de primera, demostrar que $M$ es un ideal maximal en $\mathbb Z \times \mathbb Z$, donde $M =\{(pa,b)\mid a,b\in \mathbb Z\}$

Sin embargo, sabemos que un ideal maximal iff $\frac{\mathbb Z \times \mathbb Z}{M}$ es un campo. ¿No $\frac{\mathbb Z \times \mathbb Z}{M} = (\mathbb Z_{p}, \mathbb Z_{b})$? Y $b$ puede ser cualquier número entero, decir $6$, entonces esto no es un campo. ¿Y así $M$ no debe ser máxima?

¿Puede alguien por favor, mostrar lo que yo estoy mal entendido? Gracias.

Answer 1

Que estás haciendo bien, pero esto no es correcto: $\frac{\mathbb Z \times \mathbb Z}{M} = (\mathbb Z_{p}, \mathbb Z_{b})$

Es cierto que todo en el lado izquierdo de los pares es de la forma $pa$ $a$ que van $\Bbb Z$, y ésos son exactamente los elementos de $(p)\lhd \Bbb Z$, por lo que la parte izquierda es $\Bbb Z_p$. Pero en el lado derecho, $b$ puede ser cualquier cosa, incluyendo $1$!

Así $\Bbb Z_b$ no es justo pero $\frac{\mathbb Z \times \mathbb Z}{M} = (\mathbb Z_{p}, ?)$ (repente te das cuenta lo que realmente debería ser en los comentarios...)

Answer 2

Añadir un % de par ordenado $(c,d)$, donde $c$ no es un múltiplo de $p$. Usando la Identidad de Bézout nos encontramos con que $(1,k)$ es en el ideal resultante $k$. Pero $(0,k)$ en el ideal, por lo que es $(1,0)$. $(0,1)$ Es en el ideal, obtenemos todos los $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.