Cubriendo espacios - ¿por qué son útiles?

Question

Como alguien que se formó como físico, me han sabido por décadas que $\operatorname{SU}(2)$ es una doble cubierta de $\operatorname{SO}(3)$, por lo que, durante un ocioso día en la oficina me decidí a buscar lo que esto significaba. Resultó ser más complicado de lo que esperaba. La definición de cubrir el espacio de un espacio topológico parecía ser bastante quisquilloso y me dejó pensando que estas cosas han nacido de utilidad en lugar de belleza esencial.

Así que, para qué sirven y por qué son más útiles, que decir una simple apertura de la tapa? Y por qué son las pre-imágenes de un punto en el espacio llamado "fibra dietética" (está relacionado con el de haces de fibras en la geometría diferencial?). Y, de todas las definiciones que he visto parecen implicar que las fibras deben ser discretas (presumiblemente, countably infinito en el que la mayoría, ¿seguir a partir de las definiciones?), y más allá de que ellos siempre parecen ser finito y del mismo número (es decir, siempre $2$ en cada punto en el caso de $\operatorname{SU}(2)$$\operatorname{SO}(3)$) es éste siempre el caso?

Answer 1

Cubriendo espacios se producen naturalmente en el estudio de continuación analítica (de hecho creo que este es el lugar donde apareció por primera vez). Por ejemplo, la función de raíz cuadrada $\sqrt{z}$ no puede ser extendida a una holomorphic función sobre todo de $\mathbb{C}$. Puede ser definido localmente en varios bloques abiertos en $\mathbb{C} - \{ 0 \}$, y por la continuación analítica puede definirse, por ejemplo, a partir de un barrio de $z = 1$ (de modo que $\sqrt{z} = 1$ por ejemplo) y en sentido antihorario alrededor del origen. Sin embargo, este proceso es incoherente: cuando vuelva a $z = 1$ usted encontrará que $\sqrt{z} = -1$.

La solución es definir $\sqrt{z}$ en una doble cubierta de $\mathbb{C} - \{ 0 \}$; hay dos hojas de la cubierta para cada uno de los dos posibles valores de la raíz cuadrada. Del mismo modo, $\sqrt[n]{z}$ se define en una $n$-toldo de cubierta de $\mathbb{C} - \{ 0 \}$, e $\log z$ se define en una cubierta de $\mathbb{C} - \{ 0 \}$ con infinidad de hojas.

No es una buena analogía con la teoría de campo de las extensiones y de la teoría de Galois; el doble de la cubierta se mencionó anteriormente, se corresponde en cierto sentido, a la extensión de campo $\mathbb{C}(z, \sqrt{z})$ de materia $\mathbb{C}(z)$, y se ha Galois grupo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. En esta analogía el grupo fundamental de un espacio es análogo al absoluto en el grupo de Galois de un campo, y esto ha sido muy fructífero analogía en matemáticas, que conduce a la teoría de la étale grupo fundamental. Estas ideas son explorado a fondo en Szamuely los Grupos de Galois y Fundamental de los Grupos.

En la mecánica cuántica, cubriendo espacios topológicos, grupos de producirse de forma natural por la siguiente razón. Debido a que una función de onda $\psi$ y cualquier múltiplo $e^{i \theta} \psi$ representan el mismo estado físico, para decir que un grupo de $G$ actúa como un grupo de simetrías de un sistema cuántico cuyos estados se encuentran en un espacio de Hilbert $H$ no es para decir que no es una representación $G \to \text{U}(H)$ (el grupo unitario de $H$), sino más bien un proyectiva representación $G \to \text{PU}(H)$. Para Mentir grupos $G$ tales representaciones pueden ser analizados mediante representaciones de una cubierta de grupo$\tilde{G}$$G$. Esta es la razón por sistemas cuánticos con $\text{SO}(3)$-simetría, por ejemplo, un electrón que gira alrededor de un protón, naturalmente son analizados utilizando la teoría de la representación de $\text{SU}(2)$.

Answer 2

La definición probablemente sólo parece complicado si no lo has visto (o relacionados con) definiciones antes. Lo que se dice es la siguiente: un mapa de $p: Y \to X$ es cubrir con un mapa si $p$ localmente se parece a la proyección de $$X \times \text{ a discrete space} \to X.$$

Un poco más de precisión: cada punto de $x \in X$ tiene una vecindad $U$ de manera tal que el mapa $$p^{-1}(U) \to U$$ es isomorfo a una proyección de $$U \times \text{ a discrete space} \to U.$$

Este tipo de propiedad de un mapa --- que de forma local en el destino parece la proyección de un cierto tipo de producto --- es muy común en la topología y la geometría, y que subyace a la noción fundamental de una fibra de paquete. Cubriendo los espacios son quizás el ejemplo más sencillo, ya que son haces de fibras con discretos de fibras. De haces de fibras de todo tipo aparecen en todas partes, así que no es tanto una cuestión de preguntar ¿qué son útiles, sino más bien, de la identificación de un omnipresente de la propiedad y dándole un nombre.

Otro, más global, de manera de describir cubriendo los espacios es la siguiente: si un grupo discreto $\Gamma$ actúa en un espacio de $Y$ de tal manera que cada punto tiene un barrio de $U$ de manera tal que las órbitas $\gamma U$ son distintos para los distintos elementos de la $\gamma \in \Gamma$, entonces el cociente mapa de $Y \to Y/\Gamma$ es un cubriendo mapa (es decir, $Y$ es una cubierta espacio de $Y/\Gamma$).

Desde el grupo de acciones en espacios son bastante ubicuo, esto da una convocación de por qué cubren los mapas puede ser encontrado comúnmente en la topología. (El ejemplo básico es $\Gamma = \mathbb Z$ actuando por la traducción de la $Y = \mathbb R$, con la cubierta $\mathbb R/\mathbb Z$, que es un círculo.)

Por último, si usted comienza con espacio de $X$, con el fin de construir cubre de $X$, usted tiene que "relajarse" ciertas direcciones en $X$. Por lo tanto la investigación de cubrir espacios de $X$ es lo mismo que investigar el grado en que las distintas direcciones en $X$ "herida".

E. g. en el círculo, no hay sólo una dirección, y desenrollar, se obtiene la cobertura de espacio de $\mathbb R$. En $SO(3)$ hay una dirección que es la herida, y la corrección se da $SU(2)$. A menudo este "desenrollado" puede ser pensado en una forma física: por ejemplo, imagínese que usted está caminando alrededor de un estadio, y la medición de la distancia que ha viajado al caminar. Cuando usted consigue todo el camino alrededor, estás de vuelta en donde se inicia (el estadio es un círculo), pero su la distancia recorrida no está en cero (está a 400 metros, por ejemplo). El numérico de la distancia recorrida "desenrolla" el círculo del estadio en la línea de $\mathbb R$.

E. g. en $SO(3)$, el "cinturón truco" que se menciona por Georges le permite "descansar" un giro para obtener un elemento de $SU(2)$. (Y cuando lo haces dos veces, recibes de donde empezó --- a diferencia de en el caso del estadio, donde la distancia recorrida nunca se restablece a cero; por lo que aquí se ve la diferencia entre una doble cubierta, como $SU(2)$$SO(3)$, y una infinita cubierta, como $\mathbb R$$\mathbb Z$.)

Answer 3

En primer lugar, la técnica de preguntas, tales como ¿por qué el número de hojas (la cardinalidad de la fibra) es constante (por un conectadas con el espacio, por supuesto) son contestadas en cualquier topología algebraica texto. Voy a señalar a Hatcher texto, disponible aquí porque uno, es libre, y dos, que incluye algunos de los menos formales de discusión que usted puede encontrar iluminando. (EDIT: después de Haber visto en la sección correspondiente en el Hatcher, él sólo afirma que el número de hojas es localmente constante. De ello se sigue de la necesidad de que sobre cualquier punto, hay un barrio que está uniformemente cubierto, como este mismo vecindario de trabajo para cerca de lugares, dando localmente constante y, por tanto, globalmente constante si el espacio está conectado.)

Tu pregunta es un grande, y las respuestas ya publicadas dar diferentes perspectivas sobre por qué cubriendo los espacios son tan importantes una idea de como son. Para ampliar Lopsy la respuesta un poco, creo que vale la pena destacar que la cobertura de los espacios fundamentales y los grupos están íntimamente ligados; esta es una de las razones fundamentales por su ubicuidad. Un hecho esencial acerca de la cobertura de los espacios es que para bastante agradable espacios de $X$, las distintas conectadas con espacios de $\tilde{X}$ $X$ están en una correspondencia con los subgrupos del grupo fundamental de la $\pi_1(X)$. Es decir, para cada subgrupo $H \le \pi_1(X)$, hay una que cubre el espacio de $\tilde{X}$$\pi_1(\tilde{X}) = H$. Algebraicas conceptos como el índice de un subgrupo, o si no $H$ es normal, tienen elegantes interpretaciones en la cubierta configuración del espacio: el índice es igual al número de hojas, y si el subgrupo es normal, entonces el cubrir el espacio es "homogéneo", a grandes rasgos (ver Hatcher preciso para la declaración de + convincente de las imágenes). Así que una respuesta a su pregunta de por qué son más útiles que los más generales que cubre es que proporcionan exactamente el derecho para la realización de los espacios fundamentales en los grupos que son subgrupos de su espacio original.

Entonces, ¿por qué nos importa esto? De nuevo, esta es una gran pregunta. Una respuesta es que ofrece una gran cantidad de acciones del grupo, que nos permitirá estudiar la estructura de los grupos mediante la comprensión de las propiedades de las acciones que se tienen sobre los espacios. Si estamos interesados en un grupo de $G$ y resulta que tenemos un espacio de $X$ con grupo fundamental de la $G$, $G$ actúa sobre la universalización de la cobertura $\tilde{X}$ $X$ (que es el simplemente conectado a cubrir el espacio para $X$) por la cubierta de transformaciones. Una baraja de transformación es un mapa de $\tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ que conserva las fibras. Un ejemplo sería el siguiente: como Lopsy dijo, la universalización de la cobertura de $S^1$$\mathbb{R}$, e $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$. La acción de la $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ es sólo la traducción; es decir, $n \in \mathbb{Z}$ actúa mediante el envío de $x$$x+n$. Dado que la fibra de un punto de $x \in S^1$ es el conjunto $\{x + n, n \in \mathbb{Z}\}$, podemos ver que sólo la traducción por un número entero de preservar este conjunto. Con esta configuración, se puede probar, por ejemplo, que cualquier subgrupo de un grupo libre es libre: por lo tanto se puede derivar puramente algebraica hechos apelando a cubrir el espacio de la teoría.

Answer 4

Usted puede deslumbrar a tus amigos en la mañana de Año Nuevo de parte con Dirac del cinturón de truco ( o esta variante. Ver también aquí)

Answer 5

En topología, son utilizados para probar los resultados fundamentales de los grupos: por ejemplo, el hecho de que $R$ cubre $S_1$ es usado para demostrar que $\pi_1(S_1)=Z$. Echa un vistazo a esta imagen:

https://www.math.lsu.edu/~contest/images/simple_example.gif

Digamos que usted está caminando alrededor del anillo en el medio. No es exactamente una forma de proyectar su viaje hacia arriba/hacia abajo en la escalera de caracol, de modo que se mantiene de continuo. Cuando volver a donde empezó, en el anillo, la liquidación número de su viaje va a ser el número de vuelos de la escalera de caracol de su viaje en la proyección de la ascendido.

En este ejemplo, la escalera de caracol es $R$, el anillo es $S_1$, y la liquidación número es el elemento correspondiente en el grupo fundamental. En general, este tipo de argumento funciona para cualquier cubrir el espacio!