¿Cuando la suma de los primeros números de $n$ es igual a la suma de los siguiente números de $k$?

Question

Cuando es la suma de $1+2+\cdots + n = (n+1) + (n+2) + \cdots +(n+k)$?

La solución más sencilla $(n,k)$$(2,1)$. Por ejemplo, $1+2 = 3$. Hacemos cualesquiera otros que existen?

Las raíces de $(n+k)^2 + (n+k) = 2n^2 +2n$ dar soluciones (este Es solucionable a través de una ecuación de Pell?)

Si un grafo completo roja($n$) y azul($k$) de los nodos, y cojo un borde al azar, la probabilidad de escoger una que conecta dos de rojo los vértices es $1/2$, hallar el número de azul y rojo nodos.

Este puede ser trivial, pero realmente no tengo ni idea así que les pido a los pros.

Una (especie de) la variación en el primer problema de "Cincuenta problemas Difíciles en la probabilidad con soluciones" Frederick Mosteller.

Answer 1

Escriba la ecuación de $(n+k)^2+n+k = 2 (n^2 + n)$ $(2n+2k+1)^2 - 2 (2n+1)^2 = -1$. Soluciones para el % de la ecuación de Pell $x^2 - 2 y^2 = -1$todos tienen $x$ y $y$ ambos impares, así que cada tal solución con $x$, $y$ positivo ofrece una solución de su problema por $n=(y-1)/2$, $k=(x-y)/2$. Los primeros pocos $(n,k)$ pares son
$$ \left [\begin {array}{cc} 0&0\\ 2&1 \\ 14&6\\ 84&35 \\ 492&204\\ 2870&1189 \\ 16730&6930\\ 97512&40391 \\ 568344&235416\\ 3312554&1372105 \\ 19306982&7997214\end{matriz} \right] $$