Ejemplo de un anillo noetheriano conmutativo con $1$ ni de dominio ni de local y que tiene un ideal principal principal de altura $1.$

Question

Estoy tratando de construir un ejemplo de un anillo de satisfacción de los siguientes.

Un anillo noetheriano conmutativo con $1$ ni de dominio ni de local y que tiene un ideal principal principal de altura $1.$

Sé que un anillo local noetheriano teniendo una altura $1$ principal primer ideal es un dominio. Realmente quería probar esto sin la condicion de local. No podía probar esto por lo tanto, estoy buscando un contraejemplo. Yo necesito ayuda. Gracias.

Answer 1

Que $k$ ser un campo y $A=k[x,y]/(xy)$. Entonces el % ideal $(y-1)\subset A$es un primo de $1$ de altura principal. (Tenga en cuenta que este anillo no es local, y la no localness es esencial para el ejemplo en que si usted localiza en $(y-1)$ luego el anillo se convierte en un dominio.)

Como una sugerencia a lo que está sucediendo no pueden suceder en el caso local, notar que $(y-1)x=-x$, $x$ es divisible por $y-1$ arbitrariamente muchas veces. En un anillo local noetheriano esto implicaría $x=0$ por el teorema de intersección de Krull.

Answer 2

Que $R$ ser un anillo noetheriano % ideal principal principal $P$de altura $1$.

$R\times R$ Es noetheriano, no local, no un dominio, y todavía tiene un ideal principal principal de altura $1$: $P\times R$.