Matrices simétricas y conmutatividad

Question

P: Dejemos que $m, n$ sean enteros positivos. Sea $A$ y $B$ real $n\times n$ matrices. Supongamos que $B$ es simétrica y definida positiva. Si $A$ se desplaza con $B^{m}$ , demuestre que $A$ se desplaza con $B$ .

Así que no sé realmente por dónde empezar con esto, aparte del teorema de descomposición para operadores simétricos positivos, de modo que puedo escribir $B$ como diagonal con entradas reales positivas. Quizás tomando la $m^{th}$ raíz podría ser útil lo que podemos hacer ya que $B$ tiene entradas positivas, pero no estoy seguro.

Muchas gracias.

Answer 1

Desde entonces, $B$ es simétrica y definida positiva, es diagonalizable unitariamente, es decir $\exists \, U \in U_n(\mathbb{R})$ , de tal manera que $U^{*}BU = D[d_1,\cdots,d_n]$ es una matriz diagonal, con $d_i > 0$ para todos $i = 1(1)n$ .

Denota, $U^{*}AU = W = (w_{ij})_{n \times n}$ entonces,

$AB^m = B^mA \implies U^{*}AU(U^{*}BU)^m = (U^{*}BU)^mU^{*}AU \implies WD^m = D^mW$

Así que, $d_i^mw_{ij} = w_{ij}d_j^m$ para todos $i,j$

Lo que implica, $d_iw_{ij} = w_{ij}d_j$ para todos $i,j$ (desde, $d_i,d_j >0$ y $d_i^m = d_j^m \implies d_i = d_j$ )

Es decir $WD = DW$ que a su vez implica $AB = BA$ .