Prueba

Question

$$\lim_{n\to \infty}\int_0^\pi\frac{\sin\left(nx\right)}{1+x^2}dx=0 $$

Considero que si puede ser resuelta por otros métodos sin lema de Riemann. Voy intentar mi mejor para hacerlo como sigue:

Que $t=nx$ $$\lim_{n\to \infty}\int_0^\pi\frac{\sin\left(nx\right)}{1+x^2}dx$ $\begin{eqnarray} &=&\lim_{n\to \infty}\int_0^{n\pi}\frac{\sin\left(t\right)}{1+(\frac{t}{n})^2}d\frac{t}{n}\\ &=&\lim_{n\to \infty}\int_0^{n\pi}\frac{n\sin\left(t\right)}{n^2+t^2}dt\\ &=&\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{k=n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{n\sin\left(t\right)}{n^2+t^2}dt\\ \end{eqnarray}

Entonces no puedo entrar en el. ¿Quien me puede decir como probarlo? Gracias.

Answer 1

Integración por partes es suficiente:

$$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{1+x^2}\,dx =\left.\frac{\frac{1}{n}(1-\cos(nx))}{1+x^2}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\frac{2x\,(1-\cos(nx))}{(1+x^2)^2}\,dx,\tag{1}$ $ así: %#% $ de #% usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a la segunda integral en $$\left|\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{1+x^2}\,dx\right|\leq\frac{1}{n}\left(\frac{2}{\pi^2+1}+\frac{2\pi^2}{\pi^2+1}\right)=\frac{2}{n}.\tag{2}$, es posible mejorar la desigualdad pasada hasta: $(1)$ $

Answer 2

Consideremos la integral en dos mitad-períodos sucesivos $$ \int_{t=k\pi}^{k\pi+\pi}\frac{n\sin t} {n ^ 2 + t ^ 2} dt + \int_ {t = k\pi + \pi} ^ {k\pi + 2\pi} \frac {n\sin t} {n ^ 2 + t ^ 2} dt = \int_ {t = k\pi} ^ {k\pi + \pi} \left (\frac {n\sin t} {n ^ 2 + t ^ 2}-\frac {n\sin t} {n ^ 2 + (t + \pi) ^ 2} \right) dt\\ = \int_ {t = k\pi} ^ {k\pi + \pi} \frac {n (t 2\pi + \ pi ^ 2) \sin t}{(n^2+t^2)(n^2+(t+\pi)^2)}dt=O(\frac1{n^2}). $$ el todo integral es $O(\frac1n)$.

Answer 3

Para cada integral de la suma de $|I_k| = \left|\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{n\sin t}{n^2+t^2}dt\right| \leq \displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{1}{n}dt = \dfrac{\pi}{n}$. Tomando el límite $n \to \infty$ tenemos: $I_k \to 0$, $\forall k$. Estamos listos.