Pruebas para demostrar la función f satisface Lipschitz condición cuando derivados f ' existen y son continuas

Question

La pregunta es la siguiente:

Dada una función de $f$, 2 la información conocida:
(1) $f'(x)$ existen
(2) $f'(x)$ son continuas

Objetivo: la función $f$ satisface la condición de Lipschitz en cualquier intervalo acotado $[a,b]$

Aquí va mi intento:

1/ Recordar la condición de Lipschitz: una función de $f$ satisface Lipschitz si existe un número real $N$ tal que $|f(x) - f(y)| \leq N |x - y|$

2/ en Primer lugar, tengo planes para mostrar esto :

(*) El conocimiento de los $f'(x)$ es continua en cualquier punto de $x \implies f'(x)$ es limitada en algunos vecindario acerca de $x$

Utilizando la definición de continuidad en $f'(x)$, puedo decir que para cualquier $\epsilon > 0$, $\delta > 0$ tal que para cualquier $y$,$|x - y| < \delta => |f'(x) - f'(y)| < \epsilon$.

Después de algunas obras, me doy cuenta de que $f'(y)$ se encuentra en el barrio de $(f'(x) - \epsilon, f'(x) + \epsilon)$.

Así que, si me deja mi $N = max${$f'(x) + \epsilon, -f'(x) + \epsilon$}, llego a la conclusión de que $f'(x)$ es limitada (por lo menos por debajo)

3/ a Continuación, voy a utilizar (*) para decir esto :

Si la función $f$ tiene un derivado $f'$ tal que $f'$ está delimitado por algún número K $\implies f$ satisface la condición de Lipschitz en cualquier intervalo [a,b]

Tengo la intención de utilizar el Valor medio Teorema, siempre que por (*), no es un derivado $f'(x) < K$ donde $x$ es de entre algunas de las $x_1$ $x_2$ $[a,b]$

Podría alguien por favor, compruebe si mis ideas son correctas?

Me siento muy inestable sobre la parte 2 de mi trabajo. Si la derivada es acotado, entonces creo que la prueba va a ser el camino más fácil. Pero a la conclusión de que la continua $\implies$ delimitada, no estoy seguro de si puedo reclamar tal cosa .

Gracias de antemano.

Answer 1

1) función continua $g$ en un intervalo compacto $[a,b]$ implica $g$ limitada en $[a,b]$. (Esta parte hace un poco más general que la tuya)

Considerar el conjunto de $X=\{x\in[a,b]: g|[a,x] \text{ is bounded }\}$. Mostrar que $a\in X$ y $\sup X\in X$ y $b=\sup X$ % que $b\in X$.

2) acotado derivado implica Lipschitz.

Si $|f'(x)|\leq K$ % todo $x\in[a,b]$, en particular para cualquier $x,y\in[a,b]$ tal que $x\neq y$ tenemos

$$\left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=|f'(c)|\leq K$$

$c\in[x,y]$ por MVT. Entonces $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$.