No entiendo esta definición de los enteros.

Question

Definición : El conjunto de números enteros es $\mathbb{Z}:=\frac{\mathbb{N} \times \mathbb{N}}{R}=\{[(m,n)]:(m,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\}$ .

Entiendo que es el conjunto de todas las clases de equivalencia de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ utilizando la relación de equivalencia $R$ pero que son $m$ y $n$ ¿retenedores de lugar para qué?

Introduciendo, la relación de equivalencia: $(m,n)R(p,q)\Leftrightarrow m + q = n + p.$

¡No había visto esto antes!

Answer 1

¿En qué pensamos cuando pensamos en los números enteros? Los números enteros son los números naturales, $0$ y los números naturales negativos. En los números naturales, tenemos la suma, pero al introducir los enteros, obtenemos la resta. Por lo tanto, podemos decir que cualquier número entero es simplemente la diferencia de dos números naturales: Para cualquier $z \in \Bbb{Z}$ Hay $m, n \in \Bbb{N}$ tal que $m-n=z$ .

Ahora que sabemos eso, ¿cómo podemos utilizarlo para formar una definición formal de los números enteros? Bien, sabemos que necesitamos dos números naturales $m, n$ . Podemos obtenerlo del conjunto $\Bbb{N} \times \Bbb{N}$ que es el conjunto de pares ordenados de números naturales. Entonces, para obtener un número entero a partir del par ordenado, sólo tenemos que mapear $(m, n)$ a $m-n$ .

Sin embargo, si tenemos dos pares ordenados $(m, n)$ y $(p, q)$ donde $m-n=p-q$ entonces tenemos dos pares ordenados que mapean al mismo entero. Por lo tanto, necesitamos que estos dos pares ordenados sean "iguales" de alguna manera. Aquí es donde $R$ entra. $(m, n)R(p, q)$ es lo mismo que $m-n=p-q$ . Sin embargo, queremos basar $R$ únicamente de los números naturales, lo que significa que no hay sustracción. Por lo tanto, manipulamos la ecuación para obtener: $$(m, n)R(p, q) \iff m+q=p+n$$

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Por lo tanto, así es como esta gente obtuvo esta definición de los enteros: Partieron pares ordenados de números naturales basados en la diferencia de sus elementos. Por ejemplo, aquí está el conjunto de pares ordenados que representan $0$ : $$0=\{(0, 0), (1, 1), (2, 2), ...\}$$ Todos estos elementos tienen una diferencia de $0$ entre sus elementos. Si se comprueba cualquiera de ellos con el $(m, n)R(p, q)$ la relación se mantiene: $$(1, 1)R(2, 2) \iff 1+2=1+2 \iff 3=3$$

He aquí otro ejemplo: $$2=\{(2, 0), (3, 1), (4, 2), ...\}$$ Todos estos elementos tienen una diferencia de $2$ entre sus elementos. Si se comprueba cualquiera de ellos con el $(m, n)R(p, q)$ la relación se mantiene: $$(2, 0)R(4, 2) \iff 2+2=0+4 \iff 4=4$$

Ahora bien, aquí es donde empieza a surgir la astucia: $$-1=\{(0, 1), (1, 2), (2, 3), ...\}$$ Todos estos elementos tienen una diferencia de $-1$ entre sus elementos. Si se comprueba cualquiera de ellos con el $(m, n)R(p, q)$ la relación se mantiene: $$(1, 2)R(2, 3) \iff 1+3=2+2 \iff 4=4$$

Así, usando esta partición, pudimos definir un número negativo usando sólo la adición y pares ordenados de números naturales haciendo $(1, 0)$ mapas a $+1$ mientras que $(0, 1)$ mapas a $-1$ que es el pequeño truco detrás de todo esto de las relaciones complejas.

Answer 2

Formalmente no se puede definir una resta en $\mathbb{N}$ ya que una expresión como $2-3$ no tendría ningún sentido en $\mathbb{N}$ . Sin embargo, todavía se puede definir la resta implícitamente a través de la suma, reescribiendo la relación $$b-x = a \Leftrightarrow a+x = b.$$ Con la ecuación del lado derecho $x$ está determinada de forma única por el par $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ pero eligiendo un par diferente $(a',b')$ podría dar lugar a la misma $x$ como antes, por ejemplo para $(a',b')=(a+1,b+1)$ obtenemos $$a+x = b \Leftrightarrow (a+1)+x = (b+1).$$ Ahora quiere identificar todos los pares $(a,b)$ que definen lo mismo $x$ , por lo que su objetivo es $$(a,b) \sim (a',b') :\Leftrightarrow (a,b) \text{ and } (a',b') \text{ define the same } x.$$ Esto se hace exactamente mediante la relación de equivalencia que has mencionado anteriormente y el conjunto de todas las soluciones del problema $a+x=b$ para $a,b \in \mathbb{N}$ es obviamente $\mathbb{Z}$ .