Parece que el grupo fundamental de cualquier subconjunto de a $\mathbb{R^2}$ no tiene un elemento de orden finito. A pesar de que las 3 dimensiones de la versión es un problema abierto que no podía ver de inmediato por qué es cierto en el 2-dimensional caso. Por favor, arrojar algo de luz sobre esto.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No tengo una copia de la de 1998, papel por Eda de que el resultado al parecer de la siguiente manera. Sin embargo, la pregunta puede ser contestada con resultados desde el papel fundamental de los grupos de subconjuntos cerrados de las superficies de inyectar en su primera forma grupos por Fischer & Zastrow, que está disponible gratuitamente en el arXiv. Ellos muestran que el grupo fundamental de un subconjunto compacto de una superficie cerrada es localmente libre (entre otras cosas). Un grupo es llamado localmente libre si cada finitely generado subgrupo es libre, lo que implica que es de torsión libre (el subgrupo generado por un elemento $g\not=1$ es gratis, por lo tanto infinito, por lo $g$ no tiene orden finito). A partir de esto, podemos mostrar la siguiente.
1) Si $X$ es un subconjunto de una superficie cerrada y $x\in X$, $\pi_1(X,x)$ es de torsiones.
En particular, $\mathbb{R}^2$ es homeomórficos a la esfera $S^2$ con un punto de eliminar, por lo que todos los $X\subseteq\mathbb{R}^2$ es homemorphic a un subconjunto de a $S^2$ $\pi_1(X,x)$ es de torsión libre para $x\in X$.
Para demostrar que (1) en efecto, seguir a partir de la indicada resultado, considere la posibilidad de una curva cerrada $\gamma\colon[0,1]\to X$ $\gamma(0)=\gamma(1)=x$ tal que $[\gamma]\in\pi_1(X,x)$ tiene orden finito, por lo que el $[\gamma]^{n}=1$ algunos $n\ge1$. Necesita ser demostrado que $[\gamma]=1$. En primer lugar, la escritura de $\gamma^{n}=\gamma\ast\cdots\ast\gamma$ para el n-veces producto de $\gamma$, $\gamma^{n}$ es nulo homotópica en $X$. Dejando $H\colon[0,1]^2\to X$ ser null-homotopy para $\gamma^{(n)}$ $Y\equiv{\rm Im}(H)\subseteq X$ es compacto y $\gamma^n$ en null-homotópica en $Y$. Por el resultado de la ponencia, $\pi_1(Y,x)$ es de torsión, por lo $\gamma$ es nulo homotópica en $Y$ y, por lo tanto, en $X$.
Actualización: la Lectura a través del papel, es evidente que las siguientes es verdadera:
Si $x\in X\subseteq\mathbb{R}^2$ $\gamma\colon[0,1]\to X$ es una curva con $\gamma(0)=\gamma(1)=x$ que no es null-homotópica en $X$, entonces no es un finito $F\subseteq\mathbb{R}^2\setminus X$ tal que $\gamma$ no es null-homotópica en $\mathbb{R}^2\setminus F$.
Esto implica que el resultado pedido, ya que si $\gamma$ no es null-homotópica en $X$, entonces no es null-homotópica en $\mathbb{R}^2\setminus F$ para un conjunto finito $F\subseteq\mathbb{R}^2\setminus X$. Sin embargo, el grupo fundamental de la $\mathbb{R}^2\setminus F$ es de libre generado por $\vert F\vert$ elementos, por lo que es de torsión libre. Por lo tanto, $\gamma^n$ no es null-homotópica en $X\subseteq\mathbb{R}^2\setminus F$.
Para probar el citado resultado, vamos a $X^\prime\subseteq X$ ser la unión de $\gamma([0,1])$ y el delimitada componentes conectados de $\mathbb{R}^2\setminus\gamma([0,1])$ que son subconjuntos de a $X$. También vamos a $U_1,U_2,\ldots$ ser el delimitada componentes conectados de $\mathbb{R}^2\setminus\gamma([0,1])$ que no se encuentran totalmente en $X$. Si elegimos $r > 0$ tal que $\gamma([0,1])\subseteq B_r(0)$ y deje $B_{r_i}(z_i)\subseteq U_i$ ser abierto bolas acerca de los puntos de $z_i\not\in X$, entonces el mapeo de Riemann teorema puede ser utilizado para demostrar que la $X^{\prime\prime}=\bar B_r(0)\setminus\bigcup_iB_{r_i}(z_i)$ retrae a $X^\prime$. Por eso, $\gamma$ no es null-homotópica en $X^{\prime\prime}$.
Entonces necesita ser demostrado que $\gamma$ no es null-homotópica en $X_n=\bar B_r(0)\setminus\bigcup_{i=1}^nB_{r_i}(z_i)$ finita n. Esta es la parte difícil, y se establece en el apéndice de los vinculados papel usando el hecho de que establece como $X^{\prime\prime}$ son homeomórficos a algo como una alfombra de Sierpinski (al menos, la alfombra de Sierpinski es el más complejo que se puede obtener). Una discusión prolongada se utiliza, contando los cruces de franjas horizontales y verticales en la plaza para mostrar que $\gamma$ no puede ser null-homotópica en $X_n$ por cada $n$. A continuación, ajuste de $F=\{z_1,z_2,\ldots,z_n\}$, $\mathbb{R}^2\setminus F$ se retrae en $X_n$, lo $\gamma$ no es null-homotópica en $\mathbb{R}^2\setminus F$.
Yo también voy a dar una breve explicación de donde el resultado se indica en el documento viene, aunque no he trabajado a través de todos los detalles (aún).
La idea es integrar el grupo fundamental de la $\pi_1(X,x)$ en el otro grupo $\check{\pi}_1(X,x)$ llama la primera forma homotopy grupo, que se calcula como un límite inversa fundamentales de los grupos de simplicial complejos. Si $\mathcal{U}$ es finito, abra la cubierta de $X$ (o, simplemente, localmente finito si $X$ no es compacto), entonces usted puede definir el resumen simplicial complejo de $N(\mathcal{U})$ consta de subconjuntos $\Delta\subseteq\mathcal{U}$ que $\bigcap\Delta\not=\emptyset$. A continuación, puede definir natural homomorphisms fundamentales de los grupos de $\pi_1(X,x)\to\pi_1(N(\mathcal{U}),\{U\})$. Tomando el límite inversa sobre los refinamientos de la partición da el primer grupo de forma natural y un homomorphism $\pi_1(X,x)\to\check{\pi}_1(X,x)$. En general, esto no tiene que ser inyectiva o surjective. Sin embargo, para subconjuntos de una superficie cerrada, entonces es inyectiva, como se indica en el título de la ponencia. Puede no ser inyectiva en tres dimensiones, y un ejemplo de este fracaso es siempre en el papel.
En el caso de que $X$ es compacto, entonces puede ser escrito como la intersección de una secuencia de tramos lineales submanifolds de la superficie con vacío límite, que cada uno tiene finitely generado y libre fundamentales de los grupos. La primera forma de grupo puede ser escrito como la inversa de límite de una secuencia de finitely generado y libre de grupos. Se puede demostrar que los subgrupos de la inversa de los límites de la libre grupos localmente libre.
