Me gustaría tomar un enfoque diferente totalmente y mostrar que para cada una de las $n\in\Bbb N$ hay un único, $\langle i,j\rangle\in\Bbb N\times\Bbb N$ tal que $f(i,j)=n$ por en realidad el cálculo de $i$$j$$n$. He aquí una sugerencia de cómo puede hacerse esto.
En primer lugar observamos que para cada una de las $k\ge 2$ hay $k-1$ pares de $\langle i,j\rangle$ de enteros positivos tal que $i+j=k$. Luego de observar que
$$\frac{(i+j-2)(i+j-1)}2=\sum_{k=1}^{i+j-2}k=\sum_{k=2}^{i+j-1}(k-1)$$
es el número de pares de $\langle u,v\rangle$ de enteros positivos tal que $u+v<i+j$. Ahora consideramos el $i+j-1$ pares de $\langle u,v\rangle$ tal que $u+v=i+j$: son
$$\langle i+j-1,1\rangle,\langle i+j-2,2\rangle,\ldots,\langle 1,i+j-1\rangle\;.$$
El par $\langle i,j\rangle$ $j$- ésimo par en esa lista. En otras palabras, $f(i,j)$ es el número de pares de $\langle u,v\rangle$ de enteros positivos tal que $u+v<i+j$ o$u+v=i+j$$v\le j$. (Es la posición de $\langle i,j\rangle$ en diagonal en la enumeración de $\Bbb N\times\Bbb N$.)
Ahora trabajar hacia atrás. Dado un entero positivo $n$, muestran que no hay una única $m$ tal que
$$\frac{m(m+1)}2=\sum_{k=1}^mk<n\le\sum_{k=1}^{m+1}k=\frac{(m+1)(m+2)}2\;.$$
A continuación, mostrar que si $f(i,j)=n$, entonces necesariamente $i+j=m+2$$j=n-\frac{m(m+1)}2$.
Si te quedas atascado, echa un vistazo a la Wikipedia de la discusión de la función de sincronización; su versión difiere ligeramente de la de los suyos, ya que su versión es una función de sincronización de los enteros no negativos, en lugar de para los enteros positivos – la $\Bbb N$ no incluye $0$, mientras que el suyo no, pero el principio es exactamente el mismo, y el boceto debe ser útil.
