Prueba de Kunneth ' fórmula s en Bott y Tu

Question

Deje $M, F$ ser suave colectores y supongamos que todos (en lo sucesivo, de Rham) cohomologies de $F$ son finito-dimensional. Deje $\pi : M \times F \rightarrow M$ $\rho : M \times F \rightarrow F$ ser las proyecciones. Hay un pre-gavilla $\mathcal{H}^q$$M$, es decir,$\mathcal{H}^q(U) = H^q(\pi^{-1} U)$. Vamos a tomar una buena cobertura $\mathfrak{U}$$M$. A continuación, $\mathcal{H}^q$ es localmente constante en $\mathfrak{U}$. De hecho, es constante; moreso, hay formas mundiales en $M \times F$ que, cuando se restringe a cada fibra,$F$, libremente generar el cohomology. De hecho, sólo tenemos que tomar formas $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ $F$ libremente generando $H^q(F)$ y establezca $\widetilde{\sigma_i} = \rho^{*} \sigma_i$.

Hay un espectral sucesión convergente a la cohomology de $M \times F$, y dado que el pre-gavilla $\mathcal{H}^q$ es constante (por cada $q$) vemos que el $E_{2}^{p, q}$ plazo es $H^{p}(M) \otimes H^{q}(F)$. Tan lejos, tan bueno. Ahora Bott Y Tu deseo argumentar que el$d_2$$E_2$$0$; se afirma que las formas en $E_2$ ya son globales. No entiendo esta declaración. Soy consciente de que para cualquier elemento $\omega \in E_{2}^{p, q} = H^p(\mathfrak{U}, \mathcal{H}^q)$, tendremos $\omega(U_{\alpha_0 \ldots \alpha_p}) = \sum_{i = 1}^{n} a^{\alpha_0 \ldots \alpha_p}_{i} [\widetilde{\sigma}_i]$, de modo que cada una de las $\omega(U_{\alpha_0 \ldots \alpha_p})$ es una forma global en $M \times F$. Pero, ¿qué garantiza que $\omega$ sí es una forma global?

Answer 1

Creo que me he encontrado la respuesta. Permítanme ahora hablar de $\omega$ en el nivel de las formas, recordando que $E_{2} = H_{\delta} H_{d}(C^{*}(\pi^{-1} \mathfrak{U}, \Omega^{*}))$. Con esto quiero decir $\omega_{\alpha_0 \ldots \alpha_p} = \sum_{i = 1}^{n} a^{\alpha_0 \ldots \alpha_p}_{i} \sigma_i$ representa algo en cohomología de $H_{\delta} H_d$, $d\omega = 0$ y $[\delta \omega]_{d} = 0$.

Cálculo de $\delta \omega$ obtenemos $(\delta \omega)_{\alpha_0 \ldots \alpha_{p+1}} = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 0}^{p + 1} (-1)^{j} a^{\alpha_0 \ldots \widehat{\alpha_j} \ldots \alpha_{p + 1}}_{i}) \sigma_i$. Así $0 = [(\delta \omega)_{\alpha_0 \ldots \alpha_{p + 1}}]_d = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 0}^{p + 1} (-1)^{j} a^{\alpha_0 \ldots \widehat{\alpha_j} \ldots \alpha_{p + 1}}_{i}) [\sigma_i]$. Pero puesto que el $[\sigma_i]$ libremente están generando la cohomología, $\sum_{j = 0}^{p + 1} (-1)^{j} a^{\alpha_0 \ldots \widehat{\alpha_j} \ldots \alpha_{p + 1}}_{i} = 0$. Así $\delta \omega = 0$ ya en el nivel de las formas. Entonces es fácil ver $d_2 = d_3 = \ldots = 0$.