¿Cómo elegir el origen en rotación problemas para calcular el par motor?

Question

Sabemos que $\text{Torque} = r \times F$ $r$ es el vector de posición. Pero el vector de posición depende de la elección del sistema de coordenadas y, a su vez, la elección de origen. Así, donde debemos tomar el origen?

Además, hacer el par, la velocidad angular y la aceleración angular del punto de fuera del plano de rotación de objetos en 2D porque de lo contrario no se habría dirección constante?

Muchas fuentes (incluyendo mi libro de texto) parecen decir que el origen debe situarse en el eje y que no iba a hacer una diferencia en la que está en el eje.. pero no veo por qué no debería, desde el vector de posición sería diferente a partir de diferentes orígenes y, entonces, el par de torsión, según yo, podría llegar a ser diferente.

Answer 1

Con el fin de calcular el par de torsión, $\vec\tau=\vec r\times\vec F$, se puede elegir cualquier origen $O$. El par entonces se dice que el ser calculado con respecto a la $O$ y es dependiente de esta elección. En particular, si la suma de todas las fuerzas externas sobre el sistema desaparece entonces el par resultante es independiente de $O$.

Para la segunda pregunta, tenga en cuenta que cuando una partícula está girando en un plano fijo, decir $xy$ plano, y las fuerzas que actúan sobre ella son también en este plano, a continuación, el torque es de la $z$ dirección de un vector producto con la fuerza debe ser ortogonal a la misma. Del mismo modo las expresiones para la velocidad angular y la aceleración angular también satisfacer vector producto de las relaciones, $\vec v=\vec\omega\times\vec r$$\vec a=\vec\alpha\times\vec r+\vec\omega\times\vec v$. Como se puede ver, la velocidad angular tiene que ser perpendicular a la velocidad y la aceleración angular tiene que ser perpendicular a la aceleración.

Answer 2

Deje $\vec{r}_0$ ser el origen de su sistema de coordenadas. Está claro que el par de torsión con respecto a este punto es $$\vec{Q}= (\vec{r}-\vec{r}_0)\times\vec{F} =\vec{r}\times\vec{F}-\vec{r}_0\times\vec{F} $$ El último término es una constante que depende de que el origen está tomando. Por simplicidad puede ser tomado como cero iff $\vec{r}_0$ se encuentra en el eje orientado según la dirección de la $\vec{F}$, que es lo que tu libro de texto está diciendo.

Por lo tanto la forma más sencilla de proceder es establecer el origen en cualquier punto de este eje.

Con respecto a la segunda pregunta, si usted tiene un plano de movimiento es bien sabido que el vector producto de dos vectores que se encuentran en el mismo plano, se da otra perpendicular a ellas.

En un plano de movimiento, es claro que el vector de posición $\vec{r}$, la velocidad de $\vec{v}$ mentira en el avión, así como sus derivadas con respecto al tiempo, por lo tanto, cualquier vector de productos entre ellos está orientado perpendicularmente con respecto al plano de movimiento.

Answer 3

Hay dos casos aquí:

• Estática - Cuando se considera un sistema donde$\sum \vec{F} =0$, entonces la elección del punto de donde para resumir pares sobre no importa. (Véase La elección del punto de pivote en no-equilibrio de los escenarios). Solo escoge uno que simplifica el problema de la mayoría.

• La dinámica Aquí el punto sobre el que los pares son calculados tiene que ser el centro de masa de la rotación de las ecuaciones de movimiento para trabajar correctamente. Esto es debido a que el movimiento del centro de masa es descrito por la suma de las fuerzas y de la rotación por los pares de apriete sobre el centro de masa.

  Ver Derivación de Newton-Euler Ecuaciones de la dinámica de ecuaciones no en el centro de masa.

$$ \begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{c} \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{\omega} \times \vec{c} \right) \end{aligned} $$

Answer 4

Así, donde debemos tomar el origen?

En cualquier lugar que sea conveniente.

En muchos casos, el lugar más conveniente es el objeto del centro de masa. La razón de que esta es una opción conveniente es que este desacopla el de traslación y de rotación de las ecuaciones de movimiento:

$$\begin{aligned} \boldsymbol F &= m\,\boldsymbol a \\ \boldsymbol{\tau} &= \mathrm I\,\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \omega \times \mathrm I\,\boldsymbol \omega \end{aligned}$$ Elija una ubicación diferente como el origen y el de traslación y de rotación de las ecuaciones de movimiento se convierten, junto a uno otro: $$\begin{aligned} \boldsymbol F &= m\,\boldsymbol a - m\,\boldsymbol x_{cm}\times \boldsymbol \alpha + m\, \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol x_{cm}) \\ \boldsymbol{\tau} &= m\,\boldsymbol x_{cm}\times \boldsymbol a + \mathrm I\,\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \omega \times \mathrm I\,\boldsymbol \omega \end{aligned}$$ A pesar de la mayor complejidad, hay un número de casos donde un centro de origen es la opción preferida. Esto es particularmente así en la robótica. Las restricciones sobre los movimientos de un brazo robótico hacer que las diferentes articulaciones de los lugares preferidos para describir el movimiento de cada uno de los enlaces que componen el brazo.