Demostrar que si $12a+6b+4c+3d=0$, entonces el $a+bx+cx^2+dx^3=0$ tiene una solución real en $(0,1)$

Question

Suponga que $a,b,c,d$ son números reales tales que a $12a+6b+4c+3d=0$.

Demostrar que $a+bx+cx^2+dx^3=0$ tiene una solución real en $(0,1)$.

Nota : no tengo idea ! Cómo es la suposición incluso relacionadas con la declaración de que la pregunta que nos quiere demostrar? Yo no lo entiendo.

Segunda Nota ( Editado ) : yo sé que si $x$ es demasiado grande, la ecuación que se va a $+\infty$ e al $x$ es mucho debajo de $0$, la ecuación que se va a $-\infty$. Entonces podemos aplicar el valor medio teorema de decir que si no existe algún punto tal que en ese punto, la ecuación se convierte en cero. Es aceptar. Pero ¿cómo demostrar que la raíz está en $(0,1)$ y ¿cuál es la utilidad de conocer a $12a+6b+4c+3d=0$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Resulta que $12a+6b+4c+3d=0$ es la condición que hace aplicable de Teorema de Rolle. No $$ f(x)=\int_0^x(a+bt+ct^2+dt^3)dt=ax+\frac b2x^2+\frac b3x^3+\frac d4x^4.$ $ claramente es continua en $f(x)$, diferenciable en $[0,1]$ $(0,1)$ y $f(0)=0$$$f(1)=a+\frac b2+\frac b3+\frac d4=\frac{1}{12}(12a+6b+4c+3d)=0.$$ By Rolle's Theorem, there is $ \xi\in(0,1)$ such that $f'(\xi)=0$, namely $a+bx+cx^2+dx^3=0$ has a root in $(0,1)$.

Answer 2

Sabemos que Cada ecuación cúbica $dx^3+cx^2+bx+a=0$ con coeficientes reales y $d\not= 0$ tiene tres soluciones (algunas de las cuales pueden ser iguales entre sí, si son reales, y dos de los cuales pueden ser complejos no-números reales) y al menos una solución real. Así que ahora tenemos que poner $d=0$ y obtenemos : $$cx^2+bx+a=0$$ y $$12a + 6b+ 4c =0 \to 6a+3b+2c = 0 \to b = \frac{6a+2c}{-3}$$ Ahora queremos a $\Delta_1 \ge0$ ( a la verdadera raíz).

$\Delta_1 = b^2-4ac = \frac{36a^2+4c^2+24ac}{9} - 4ac = \frac{36a^2+4c^2-12ac}{9}\ge0\iff 9a^2-3ac+c^2\ge0$

Lo que es obvio, por $\Delta_2 = -27a^2c^2\le0$

Nota : Al$\Delta \lt 0 $, cuadrática, polinómica tiene el mismo signo que el coeficiente de $x^2$.(En este caso 9) y si $\Delta = 0$ valor del polinomio cuadrático será cero en un punto y en otros puntos tiene el mismo signo que el coeficiente de $x^2$.

Answer 3

Aquí están algunas cosas que pueden ayudar a guiarle en la dirección correcta:

Let $f(x)$ = $a+bx+cx^2+dx^3$

If $d\neq 0$ :

¿1) es $f$ continuo?

2) ¿Qué es $\lim_{x\to \infty}$$f(x)$? ¿Qué es $\lim_{x\to -\infty}$$f(x)$?

3) ¿Qué sabemos sobre las señales de los dos límites anteriores, y lo que esto nos puede decir sobre la existencia de un zero/root?

Si $d=0$, $f$ tiene grado $\leq2$

¿Cómo podemos mostrar que una función cuadrática (o lineal) tiene un zero/root?