Continuidad a la convergencia débil implica continuidad a la convergencia de la norma

Question

Que $X$ y $Y$ espacios de norma, y que $T:X\to Y$ una transformación lineal que es continua en convergencia débil.

Es decir, si $\forall x^\star\in X^\star:x^\star x_n\to x^\star x $ y $\forall y^\star \in Y^\star:y^\star Tx_n \to y^\star Tx$.

Demostrar que $T$ es continua bajo la convergencia de la norma.

Es decir, si $\|x_n\|\to\|x\|$ y $\|Tx_n\|\to\|Tx\|$.

Cualquier sugerencias sería más Bienvenidos.

TIA, Shai

Answer 1

Supongamos que $T$ no es continua en virtud de la norma de la convergencia. A continuación, hay una secuencia $\{x_n\}$ tal que $$ \Vert x_n\Vert\le 1,\quad \text { y }\quad\Vert T(x_n)\Vert \ge n^2 \quad\text{ para cada uno de los }n. $$ (hay una secuencia $z_n$ de vectores no nulos en $X$ de la convergencia en norma a $0$ que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \Vert Tz_n\Vert\ne 0$. A continuación, $\{z_n/\Vert z_n\Vert\}$ es en la unidad de la bola de $X$ $\{T( z_n/\Vert z_n)\Vert\}$ es ilimitado).

Ahora $\Vert x_n/n \Vert\rightarrow 0$, y por lo tanto $y^* (x_n/n)\rightarrow0$ por cada $y^*\in Y^*$. Desde $T$ se supone que ser continua en virtud de la debilidad de la convergencia, $$y^*T(x_n/n)\rightarrow 0\quad, \text{ for any }y^*\in Y^*. $$

Pero entonces, se desprende del Uniforme Acotamiento Principio$^\dagger$ que $\{T(x_n/n)\}$ es la norma acotada.

Sin embargo, $\Vert T(x_n/n)\Vert\ge n$ por cada $n$.

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$^\dagger$ Consideramos $\{Tx_n :n=1,2,\ldots\}$ como un subconjunto de a $Y^{**}$. Que se le considere el $Tx_n$ como un continuo lineal funcional en $Y^*$ (que es un espacio de Banach). El $Tx_n$ son pointwise limitada, y, por lo tanto, la norma acotada en $Y^{**}$. Pero las normas de la $Tx_n$ $Y^{**}$ son las mismas que las normas en $Y$.