$[L:K]=n!\ \Longrightarrow \ f$ es irreducible y $\text{Gal}(L/K)\cong S_n.$

Question

¿Cómo puedo probar el siguiente teorema ?

Deje $f\in K[T]$ tienen un grado $n$, y que la división de campo de la $L/K$. Luego tenemos a $$ [L:K]=n!\ \Longrightarrow \ f\text{ is irreducible and Gal}(L/K)\cong S_n.$$

Me las arreglé para demostrar que $f$ tiene que ser irreductible, pero estoy atascado mostrando que $\text{Gal}(f/K)\cong S_n$.

(Algunas de las cosas que yo sé, que podría ser útil en la prueba: El grupo de Galois de $f$ tiene que ser, gracias a la irreductibilidad, transitivo subgrupo de $S_n$; $S_n$ es transitiva.
Ya he navegado a través de Dummit del libro y M. Artins libro sobre álgebra, pero no podía encontrar nada que me ayude.)

Answer 1

Deje $f$ ser un polinomio de grado $n$ sobre un campo $K$ $E$ de su división de campo. Suponga que $E$ es una extensión de Galois y deje $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ ser las raíces de $f$. Cualquier $K$-automorphism de $E$ está determinado por su acción sobre el $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ desde $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ generar $E$$K$. También sabemos que para cualquier $K$-automorphism $\sigma$ $E$ que $\sigma(\alpha_i)=\alpha_j$ algunos $j$. En particular, vemos que $\mathrm{Gal}(K/E)$ proporciona un fiel grupo de acción sobre $\alpha_1,\dots,\alpha_n$. Esto significa que $\mathrm{Gal}(K/E)$ incrusta en $S_n$.

En cuanto a tu problema. Primero observar que si $f$ había repetido raíces $L/K$ podría no tienen un grado $n!$, lo $L/K$ es una extensión separable. Tenemos que $L/K$ es normal porque es una división de campo por lo que es una extensión de Galois. Así que tiene sentido hablar de la $\mathrm{Gal}(K/L)$. Por el argumento en el párrafo anterior sabemos que $\mathrm{Gal}(K/L)$ incrusta en $S_n$, pero $\mathrm{Gal}(K/L)$ orden $n!$, por lo que debe ser que la inclusión es, en efecto, un isomorfismo.

Edit: reescritura de responder a la adición de más detalles.

Answer 2

(Creo que) veo dos posibles puntos de confusión que estamos teniendo, así que voy a tratar de enderezarlas.

En primer lugar, en su edición, que ha añadido que usted sabe que el grupo de Galois debe ser un subgrupo de $S_n$. Ahora en Hagen von Eitzen comentario, pregunta cuántos subgrupos de $S_n$ (es decir, potnetial grupos de Galois) tienen orden de $n!$ (como se requiere en el problema). Así que, ¿cuántos potencial de Galois grupos hay y cuáles son?

En segundo lugar, en sus comentarios a Jacob Schlather (gran) la respuesta que usted está haciendo buenas preguntas, pero me da la sensación de que has perdido el punto de que el primer párrafo de su respuesta. Lo que está diciendo es que, debido a que los elementos del grupo de Galois debe permutar las raíces de $f$, e $f$ $n$ (no necesariamente distintos) las raíces, cada permutación es una permutación en $n$ (no necesariamente distintos) cartas. Ahora la clave está en que si los $n$ letras no son distintos, entonces no puede ser $n!$ permutaciones. Quizás es útil pensar de esta manera: no se trata de contar la repetición, hay $n!$ permutaciones de todas las raíces, de modo que si algunas de las raíces repetidas, decir $r_1$$r_2$, entonces cada permutación de intercambio de los dos, sería la misma que la de otra permutación que tiene el mismo efecto en el resto de las raíces, pero no swap $r_1$$r_2$, y así tiene menos de $n!$ distintas permutaciones (es decir, automorfismos!).

Por lo tanto, como $L/K$ es de Galois, sabemos $|\operatorname{Gal}(L/K)| = [L:K] = n!$, y así si alguna de las raíces, se repite, no sería menos de $n!$ (permutaciones) automorfismos de a $L$ fijación $K$, que contradice la hipótesis.