Bolzano-Weierstrass y medidas

Question

Deje $\{\mathcal{A}_n\}$ ser una secuencia infinita de conjuntos con $\mathcal{A}_n \subset \mathcal{M}$ donde $\mathcal{M}$ es un subconjunto acotado de $\mathbb{R}$ (por simplicidad). Hay un "agradable" limitar la definición de $\lim^{\circ}$ y una "buena" medida $\mu^{\circ}$ de manera tal que las dos siguientes se tiene:

1) Todos los $\{\mathcal{A}_n\}$ (como se discutió anteriormente) tiene una convergencia de larga.

2) Si $\{\mathcal{A}_n\}$ converge, y $\mathcal{A} = \lim^{\circ}\mathcal{A}_n$, $\mu^{\circ}(\mathcal{A}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\mu^{\circ}(\mathcal{A}_n)$ (aquí el último límite es el límite habitual).

Lo que quiero decir por "bonito:" De la medida, se debe satisfacer por ejemplo, $\mu^{\circ}([a,b]) = b-a$ (por ejemplo, como la medida de Lebesgue). Para el límite, no sé exactamente lo que quiero, pero no debe ser algo completamente inútil y trivial.

Permítanme tratar de ser más claro. Por ejemplo, establezca $\mu^{\circ}$ a ser la medida de Lebesgue, y de los límites definidos de la manera tradicional, es decir, vamos \begin{align} \liminf_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n = \{x:x\in\mathcal{A}_n\mbox{ for all but finitely many }n\}, \end{align} \begin{align} \limsup_{n\rightarrow\infty} \mathcal{A}_n = \{x:x\in\mathcal{A}_n\mbox{ for infinitely many }n\}, \end{align} y decir que el límite de $\lim\mathcal{A}_n$ existe es que estos valores están de acuerdo. Con esta configuración, la segunda condición se cumple, pero la primera no es (ver mi anterior pregunta de hoy: Bolzano-Weierstrass para las secuencias de conjuntos para los cuales tengo una gran respuesta gracias a mucha gente)

Por el bien de la experimentación, vamos a $\mu^{\circ}$ ser la medida de Lebesgue de nuevo, pero el uso de la Kuratowski la convergencia de los límites (ver, por ejemplo, la página de la Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski_convergence). Entonces, la primera condición se cumple (he leído la prueba en algún lugar, pero ahora recuerdo donde), pero la segunda condición no es (es fácil construir un contraejemplo).

Esto es sólo un experimento de pensamiento que me viene molestando desde hace un tiempo, y te agradecería mucho cualquier respuesta.

Answer 1

Deje $\lambda$ ser el Lebesuge medida en $\mathbb{R}$.

Definiciones:

$$\lim\,\inf_{n\rightarrow\infty}A_n:=[0,\lim\,\inf_{n\rightarrow\infty}\lambda(A_n)]$$ $$\lim\,\sup_{n\rightarrow\infty}A_n:=[0,\lim\,\sup_{n\rightarrow\infty}\lambda(A_n)]$$

Por último, si $\lim\,\inf_{n\rightarrow\infty}A_n=\lim\,\sup_{n\rightarrow\infty}A_n$, luego definimos $\lim_{n\rightarrow \infty}A_n$ ser: $$\lim_{n\rightarrow \infty}A_n:=\lim\,\inf_{n\rightarrow\infty}A_n=\lim\,\sup_{n\rightarrow\infty}A_n$$ Está claro que si $\{A_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$ converge a continuación: $$\lambda(\lim_{n\rightarrow \infty}A_n)=\lambda([0,\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda(A_n)])=\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda(A_n)$$

A continuación nos verifty la de Bolzano-Weierstrass de la propiedad, Si $\{A_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$ es una secuencia de subconjuntos de un conjunto acotado $\scr{M}$,$\forall n\in Z^+[\lambda(A_n)\leq\lambda(\scr M)<\infty]$. Así, la secuencia $\{\lambda(A_n)\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$ está acotada. Deje $\{\lambda(A_{n_k})\}_{k\in \mathbb{Z}^+}$ ser convergente larga. Ahora se sigue que: $$\lim\,\inf_{k\rightarrow\infty}A_{n_k}=[0,\lim\,\inf_{k\rightarrow\infty}\lambda(A_{n_k})]=[0,\lim_{k\rightarrow\infty}\lambda(A_{n_k})]$$ $$\lim\,\sup_{k\rightarrow\infty}A_{n_k}=[0,\lim\,\sup_{k\rightarrow\infty}\lambda(A_{n_k})]=[0,\lim_{k\rightarrow\infty}\lambda(A_{n_k})]$$ Por lo tanto, $\{A_{n_k}\}_{k\in \mathbb{Z}^+}$ es convergente larga de $\{A_n\}_{n\in \mathbb{Z}^+}$.

Tal vez usted no le gusta esta respuesta (no me gusta así). Usted necesita para llegar con mejores condiciones para evitar trivial soluciones.